Dadas as curvas y1=x^2 e y2=-x^2+4 x, determine a área da região limitada pelas mesmas.
(Dica: observe onde y1 >= y2 e onde y1 <= y2.)

Passo 1

O enunciado dá duas curvas
y1=x^2
e
y2=-x^2+4x
e pede a área da região em que elas se interceptam. Para isso, vamos usar o conceito de área entre curvas em x:
Área=integrala^bl(curva superior-curva inferiorr),dx Á

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção resolvendo
x^2 = -x^2 +4x
que fica
2x^2-4x=0 Longrightarrow 2x(x-2)=0
logo os pontos são x=0 e x=2.

Passo 3

Para x em [0,2], comparamos y1-y2=x^2-(-x^2+4x)=2x(x-2). Nesse intervalo x>0 e x-2<0, então y1-y2<0, ou seja,
y2>= y1 em[0,2]

Passo 4

A área procurada é
integral0^2l(y2-y1r),dx =integral0^2l[(-x^2+4x)-x^2r],dx =integral0^2(-2x^2+4x),dx

Passo 5

Calculando a integral:
integral(-2x^2+4x),dx =-2cdotx^33+4cdotx^22 =-2x^33+2x^2
Avalia de 0 a 2:
l[-tfrac2x^33+2x^2r]0^2 =l(-tfrac163+8r)-0 =-16+243 =83

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é 83.

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