Um tanque com à forma de um cilindro circular reto está em pé sobre uma extremidade e deixa or um orifício circular em sua base. Quando são ignorados o atrito e a contração da água no orifício, a altura h da água no tanque é descrita por
d hd t=-AhAw raiz2 g h,
onde Aw e Ah são as áreas das seções transversais da água e do orifício, respectivamente.
(a) Resolva a ED se o valor inicial da altura da água é H. Manualmente, esboce o gráfico h(t) e informe seu intervalo I de definição dos termos dos símbolos Aw, Ah e H. Use g=10 m / s^2.
(b) Suponha que o tanque tenha 10 pés de altura e um raio de 2 pés e que o orifício circular tenha um raio de 1 / 2 polegada. Se o tanque estiver cheio inicialmente, quanto tempo levará para se esvaziar?

Passo 1

A questão fala de um tanque cilíndrico apoiado na base, com um orifício circular no fundo, e nos dá a ED separável
dhdt=-AhAwraiz2gh,
onde h(0)=H. O conteúdo é Equações Diferenciais Separáveis aplicadas à Lei de Torricelli e vamos precisar saber separar variáveis e integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis: colocamos todos os termos em h de um lado e t do outro
dhraizh=-AhAwraiz2g,dt
Aqui usamos que raizh é positivo porque h>0.

Passo 3

Integramos ambos os lados. Do lado esquerdo
integraldhraizh=2raizh,
e do direito
integral -AhAwraiz2g,dt=-AhAwraiz2g;t+C

Passo 4

Impondo a condição inicial h(0)=H, achamos C: quando t=0, 2raizh=2raizH=C. Logo
2raizh=2raizH-AhAwraiz2g;t

Passo 5

Isolando h:
raizh=raizH-Ah2Awraiz2g;tLongrightarrow h(t)=l(raizH-Ah2Awraiz2g;tr)^2

Passo 6

O gráfico de h(t) é uma parábola decrescente em t, que cai de h(0)=H até h=0. O tempo em que h(t) chega a zero é
T=2AwAhraiz2graizH,\nportanto o intervalo de definição em que a solução faz sentido (altura não negativa) é
I=l[0,;2AwAhraiz2graizHr]
Aqui Aw>0, Ah>0 e H>0.

Passo 7

Para (b), passamos às unidades inglesas: o tanque tem H=10 ft, raio R=2 ft, então
Aw=pi R^2=4pi;ft^2
O orifício tem raio r=tfrac12 in = tfrac124 ft, então
Ah=pi r^2=pi576;ft^2

Passo 8

Usamos aceleração da gravidade em ft/s², gapprox32 ft/s². Substituindo em
T=2AwAhraiz2graizH,
tenho
T=2cdot4pi(pi/576)raiz2cdot32raiz10 =2304timesraiz1064 =2304timesraiz532 approx1822,5;s

Passo 9

Convertendo para minutos:
1822,5;sapprox30,4;min

Resposta

(a) h(t)=l(raizH-tfracAh2Awraiz2g,tr)^2, com domínio tinl[0,2AwraizH/(Ahraiz2g)r] e parâmetros Aw>0,;Ah>0,;H>0. (b) Aproximadamente 1822,5 s, ou seja, cerca de 30,4 minutos.

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