Um tanque com à forma de um cilindro circular reto está em pé sobre uma extremidade e deixa or um orifício circular em sua base. Quando são ignorados o atrito e a contração da água no orifício, a altura
da água no tanque é descrita por
onde
e
são as áreas das seções transversais da água e do orifício, respectivamente.
(a) Resolva a ED se o valor inicial da altura da água é
. Manualmente, esboce o gráfico
e informe seu intervalo I de definição dos termos dos símbolos
e
. Use
.
(b) Suponha que o tanque tenha 10 pés de altura e um raio de 2 pés e que o orifício circular tenha um raio de
polegada. Se o tanque estiver cheio inicialmente, quanto tempo levará para se esvaziar?
(a) Resolva a ED se o valor inicial da altura da água é
(b) Suponha que o tanque tenha 10 pés de altura e um raio de 2 pés e que o orifício circular tenha um raio de
Passo 1
A questão fala de um tanque cilíndrico apoiado na base, com um orifício circular no fundo, e nos dá a ED separável
onde h(0)=H. O conteúdo é Equações Diferenciais Separáveis aplicadas à Lei de Torricelli e vamos precisar saber separar variáveis e integrar.
Passo 2
Separamos as variáveis: colocamos todos os termos em h de um lado e t do outro
Aqui usamos que
é positivo porque
.
Passo 3
Integramos ambos os lados. Do lado esquerdo
e do direito
Passo 4
Impondo a condição inicial
, achamos C: quando
,
. Logo
Passo 5
Isolando
:
Passo 6
O gráfico de
é uma parábola decrescente em
, que cai de
até
. O tempo em que
chega a zero é
Aqui
,
e
.
Passo 7
Para (b), passamos às unidades inglesas: o tanque tem
ft, raio
ft, então
O orifício tem raio
in =
ft, então
Passo 8
Usamos aceleração da gravidade em ft/s²,
ft/s². Substituindo em
tenho
Passo 9
Convertendo para minutos:
Resposta
(a)
, com domínio
e parâmetros
. (b) Aproximadamente 1822,5 s, ou seja, cerca de 30,4 minutos.