Faça o esboço da região limitada pelas curvas y1=x^3+1 e y2=x^2+1. Determine a área de tal região.

Passo 1

O enunciado pede o esboço da região limitada pelas curvas
y1 = x^3 + 1
e
y2 = x^2 + 1
e o cálculo da área dessa região. O conteúdo aqui é “área entre duas curvas” e para resolver vamos precisar:
– achar os pontos de interseção das curvas;
– determinar qual curva está acima da outra no intervalo de interesse;
– montar a integral definida da diferença das funções;
– avaliar a integral.

Passo 2

Para encontrar os pontos em que as curvas se cruzam, resolvemos
x^3 + 1 = x^2 + 1
que reduz a
x^3 - x^2 = 0 Longrightarrow x^2(x - 1) = 0
Logo, as soluções são
x = 0 e x = 1
Substituindo em qualquer das funções, obtemos os pontos de interseção
(0,,1) e (1,,2)

Passo 3

Para saber qual curva fica acima, examinamos a diferença
y2 - y1 = l(x^2+1r) - l(x^3+1r) = x^2 - x^3 = x^2(1 - x)
No intervalo 0 < x < 1, temos x^2(1 - x) > 0, ou seja,
y2 > y1 para 0 < x < 1
Portanto, a parábola y2 está acima da cúbica y1 nesse intervalo.

Passo 4

A área A da região limitada é dada pela integral definida da “função de cima” menos a “função de baixo” desde x=0 até x=1:
A = integral0^1l(y2 - y1r),dx = integral0^1l(x^2+1 - (x^3+1)r),dx = integral0^1l(x^2 - x^3r),dx

Passo 5

Agora basta avaliar a integral:
integral0^1l(x^2 - x^3r),dx = [x^33 - x^44]0^1 = (13 - 14) - 0 = 13 - 14 = 112

Resposta

A região está compreendida entre as curvas que se cruzam em (0,1) e (1,2), com a parábola y2=x^2+1 acima da cúbica y1=x^3+1.
A área dessa região é
112

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