Faça o esboço da região limitada pelas curvas
e
. Determine a área de tal região.
Passo 1
O enunciado pede o esboço da região limitada pelas curvas
e
e o cálculo da área dessa região. O conteúdo aqui é “área entre duas curvas” e para resolver vamos precisar:
– achar os pontos de interseção das curvas;
– determinar qual curva está acima da outra no intervalo de interesse;
– montar a integral definida da diferença das funções;
– avaliar a integral.
– achar os pontos de interseção das curvas;
– determinar qual curva está acima da outra no intervalo de interesse;
– montar a integral definida da diferença das funções;
– avaliar a integral.
Passo 2
Para encontrar os pontos em que as curvas se cruzam, resolvemos
que reduz a
Logo, as soluções são
Substituindo em qualquer das funções, obtemos os pontos de interseção
Passo 3
Para saber qual curva fica acima, examinamos a diferença
No intervalo
, temos
, ou seja,
Portanto, a parábola
está acima da cúbica
nesse intervalo.
Passo 4
A área
da região limitada é dada pela integral definida da “função de cima” menos a “função de baixo” desde
até
:
Passo 5
Agora basta avaliar a integral:
Resposta
A região está compreendida entre as curvas que se cruzam em
e
, com a parábola
acima da cúbica
.
A área dessa região é
A área dessa região é