Dadas A=[ll1 & 2 3 & 4] e C=[cc1 & 2 -1 & -2], determine todas as matrizes B quadradas de ordem 2 tais que:
A B=B A

Passo 1

O enunciado dá
e pede todas as matrizes quadradas de ordem 2, digamos
que comutam com , isto é, satisfazem
O conteúdo usado será: montar a igualdade de matrizes, traduzir em sistema linear para os e resolver.

Passo 2

Calculemos em bloco

Passo 3

Igualando entradas de
Dessas equações duas são repetidas e restam três independentes. Da primeira e da última vem
Da terceira vem
A segunda fica automaticamente satisfeita. Logo só há duas variáveis livres, por exemplo .

Passo 4

Definindo parâmetros por
(obtendo ), vemos que
Isso coincide com o fato geral de que, quando tem autovalores distintos, todo comutador de é polinômio em .

Resposta

As únicas matrizes 2times2 que comutam com
A=1&23&4
são
B = a,I + b,A = a+b & 2b3b & a+4b, a,binR

Exercícios relacionados