Dadas
e
C=[cc1 & 2 -1 & -2] , determine todas as matrizes
B quadradas de ordem 2 tais que:
A B=B A
Passo 1
O enunciado dá
e pede todas as matrizes quadradas de ordem 2, digamos
que comutam com
, isto é, satisfazem
O conteúdo usado será: montar a igualdade de matrizes, traduzir em sistema linear para os
e resolver.
Passo 2
Calculemos em bloco
Passo 3
Igualando entradas de
Dessas equações duas são repetidas e restam três independentes. Da primeira e da última vem
Da terceira vem
A segunda fica automaticamente satisfeita. Logo só há duas variáveis livres, por exemplo .
Passo 4
Definindo parâmetros
por
(obtendo
), vemos que
Isso coincide com o fato geral de que, quando
tem autovalores distintos, todo comutador de
é polinômio em
.
Resposta
As únicas matrizes
2times2 que comutam com
A=1&23&4
são
são