Dadas A=[ll1 & 2 3 & 4] e C=[cc1 & 2 -1 & -2], determine todas as matrizes B quadradas de ordem 2 tais que:
A B=B^t A

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar todas as matrizes quadradas B de ordem 2 que satisfazem a equação A B = B^t A , onde A e C são matrizes dadas. O conteúdo que vamos precisar envolve álgebra de matrizes, especialmente operações como multiplicação de matrizes e transposição. Para resolver isso, vamos precisar usar essas operações e resolver um sistema de equações para encontrar os elementos da matriz B .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação A B = B^t A . Aqui, B^t representa a transposta da matriz B . Vamos escrever a matriz B de forma geral:
B = a & b c & d
Assim, a transposta de B é:
B^t = a & c b & d

Passo 3

Agora, vamos calcular A B e B^t A separadamente.
Primeiro, calculando A B :
A B = 1 & 2 3 & 4 a & b c & d = 1 cdot a + 2 cdot c & 1 cdot b + 2 cdot d 3 cdot a + 4 cdot c & 3 cdot b + 4 cdot d = a + 2c & b + 2d 3a + 4c & 3b + 4d

Passo 4

Agora, calculando B^t A :
B^t A = a & c b & d 1 & 2 3 & 4 = a cdot 1 + c cdot 3 & a cdot 2 + c cdot 4 b cdot 1 + d cdot 3 & b cdot 2 + d cdot 4 = a + 3c & 2a + 4c b + 3d & 2b + 4d

Passo 5

Agora que temos A B e B^t A , vamos igualar as duas matrizes:
a + 2c & b + 2d 3a + 4c & 3b + 4d = a + 3c & 2a + 4c b + 3d & 2b + 4d
Isso nos dá um sistema de equações:
  1. a + 2c = a + 3c
  2. b + 2d = 2a + 4c
  3. 3a + 4c = b + 3d
  4. 3b + 4d = 2b + 4d

Passo 6

Vamos resolver essas equações uma a uma.
Equação 1:
a + 2c = a + 3c Rightarrow 2c = 3c Rightarrow c = 0
Equação 4:
3b + 4d = 2b + 4d Rightarrow 3b = 2b Rightarrow b = 0

Passo 7

Com c = 0 e b = 0 , vamos substituir esses valores nas Equações 2 e 3.
Equação 2:
b + 2d = 2a + 4c 0 + 2d = 2a + 0 2d = 2a Rightarrow d = a
Equação 3:
3a + 4c = b + 3d 3a + 0 = 0 + 3a Rightarrow 3a = 3a
A última equação confirma que não há mais restrições sobre a .

Resposta

Todas as matrizes quadradas B de ordem 2 que satisfazem A B = B^t A são da forma:
B = a & 0 0 & a
onde a é qualquer número real. Ou seja, B é uma matriz diagonal com os elementos a na diagonal principal.

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