Dadas e C=[cc1 & 2 -1 & -2], determine todas as matrizes B quadradas de ordem 2 tais que:
A B=B^t A
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar todas as matrizes quadradas B de ordem 2 que satisfazem a equação A B = B^t A , onde A e C são matrizes dadas. O conteúdo que vamos precisar envolve álgebra de matrizes, especialmente operações como multiplicação de matrizes e transposição. Para resolver isso, vamos precisar usar essas operações e resolver um sistema de equações para encontrar os elementos da matriz B .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a equação A B = B^t A . Aqui, B^t representa a transposta da matriz B . Vamos escrever a matriz B de forma geral:
B = a & b c & d
Assim, a transposta de B é:
B^t = a & c b & d
Passo 3
Agora, vamos calcular A B e B^t A separadamente.
Primeiro, calculando A B :
A B = 1 & 2 3 & 4 a & b c & d = 1 cdot a + 2 cdot c & 1 cdot b + 2 cdot d 3 cdot a + 4 cdot c & 3 cdot b + 4 cdot d = a + 2c & b + 2d 3a + 4c & 3b + 4d
Passo 4
Agora, calculando B^t A :
B^t A = a & c b & d 1 & 2 3 & 4 = a cdot 1 + c cdot 3 & a cdot 2 + c cdot 4 b cdot 1 + d cdot 3 & b cdot 2 + d cdot 4 = a + 3c & 2a + 4c b + 3d & 2b + 4d
Passo 5
Agora que temos A B e B^t A , vamos igualar as duas matrizes:
a + 2c & b + 2d 3a + 4c & 3b + 4d = a + 3c & 2a + 4c b + 3d & 2b + 4d
Isso nos dá um sistema de equações:
a + 2c = a + 3c
b + 2d = 2a + 4c
3a + 4c = b + 3d
3b + 4d = 2b + 4d
Passo 6
Vamos resolver essas equações uma a uma.
Equação 1:
a + 2c = a + 3c Rightarrow 2c = 3c Rightarrow c = 0