Sejam A, B matrizes quadradas de ordem n. Sabendo que det(A)=3 e det(B)=5, determine os valores de det(A^2 B A), det(A^t B^-1) e det(A B A^t).

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes quadradas de ordem n com
det(A)=3
det(B)=5
Pede-se det(A^2 B A), det(A^t B^-1) e det(A B A^t). Vamos usar as propriedades básicas de determinante: produto, transposta, potência e inversa.

Passo 2

Recordando as propriedades de determinante de matrizes quadradas:
det(MN)=det(M),det(N),
det(M^t)=det(M),
det(M^k)=l(det(M)r)^k,
det(M^-1)=l(det(M)r)^-1

Passo 3

Para det(A^2 B A), escrevemos
det(A^2 B A)=det(A^2),det(B),det(A) =l(det(A)r)^2;det(B);det(A) =l(det(A)r)^3;det(B)
Substituindo det(A)=3 e det(B)=5, vem
det(A^2 B A)=3^3cdot5=27cdot5=135

Passo 4

Para det(A^t B^-1), aplicamos
det(A^t B^-1)=det(A^t),det(B^-1) =det(A);l(det(B)r)^-1 =3cdot15=35

Passo 5

Para det(A B A^t), usamos
det(A B A^t)=det(A),det(B),det(A^t) =det(A)^2,det(B) =3^2cdot5=9cdot5=45

Resposta

det(A^2 B A)=135
det(A^t B^-1)=tfrac35
det(A B A^t)=45

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