Sabendo que det(A B)=5 e det(B^2 A^t)=15, determine os valores de det(A) e det(B).

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas A e B de ordem n e fornece
det(AB)=5 e det(B^2A^t)=15.
O conteúdo principal são as propriedades de determinante:
  1. det(AB)=det(A)det(B).
  2. det(A^t)=det(A).
  3. det(B^2)=l(det(B)r)^2.
    Vamos chamar det(A)=a e det(B)=b e usar essas propriedades para achar a e b.

Passo 2

Usando det(AB)=5 e a propriedade multiplicativa, escrevemos
det(A),det(B)=a,b=5

Passo 3

Usando det(B^2A^t)=15, aplicamos as propriedades de determinante de produto, transposta e potência:
det(B^2A^t)=det(B^2),det(A^t) =(det(B))^2;det(A) =b^2 a=15

Passo 4

Agora temos o sistema em
Da primeira equação vem (a=\tfrac{5}{b}]. Substituindo na segunda:

Passo 5

Substituindo b=3 em a=tfrac5b, obtemos
a=53

Resposta

det(A)=tfrac53
det(B)=3

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