Dadas duas bases alpha=v1, u2, u3 e beta=v1, v2, v3 de um espaço vetorial W, suponha que u1=v1+v2+v3, u2=v1+3 v2-v3 e u3=v1+v2. Determine Mbeta alpha. Além disso, se x in W e conhecemos [x]beta, qual a expressão que determina [x]alpha ?

Passo 1

O enunciado define duas bases de um espaço vetorial W,
alpha = u1,u2,u3, beta = v1,v2,v3,
com
u1=v1+v2+v3, u2=v1+3v2-v3, u3=v1+v2
Queremos achar a matriz de mudança de base de alpha para beta, Mbetaalpha, e então expressar [x]alpha em função de [x]beta.

Passo 2

Para montar Mbetaalpha, lembramos que suas colunas são as coordenadas dos vetores de alpha na base beta. Logo
[u1]beta = 111, [u2]beta = 13-1, [u3]beta = 110

Passo 3

Portanto
Mbetaalpha = 1 & 1 & 1 1 & 3 & 1 1 & -1 & 0 ,
e vale a relação
[x]beta ;=; Mbetaalpha,[x]alpha

Passo 4

Para obter [x]alpha a partir de [x]beta, invertemos Mbetaalpha. Calculando a inversa, chega-se a
Mbetaalpha^-1 = -tfrac12 & tfrac12 & 1 -tfrac12 & tfrac12 & 0 2 & -1 & -1 sendo [x]alpha = Mbetaalpha^-1,[x]beta

Passo 5

Se escrevemos [x]beta=(x1,x2,x3)^!T, então explicitamente
[x]alpha = -tfrac12,x1 + tfrac12,x2 + x3 -tfrac12,x1 + tfrac12,x2 2,x1 - x2 - x3

Resposta

Mbetaalpha = 1 & 1 & 1 1 & 3 & 1 1 & -1 & 0 , [x]alpha = -tfrac12 & tfrac12 & 1 -tfrac12 & tfrac12 & 0 2 & -1 & -1 [x]beta

Exercícios relacionados