Sejam alpha e beta bases ordenadas de R^3 tais que [I]alpha^beta=[ccc1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1].
Seja v in R^3 tal que [v]alpha=[l1 2 3]. Determine [v]beta.

Passo 1

O enunciado nos dá duas bases ordenadas alpha e beta de R^3 e informa a matriz de mudança de coordenadas de alpha para beta, que é
[I]alpha^beta = 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1
Também sabemos que as coordenadas de v na base alpha são
[v]alpha = 123
O conteúdo envolvido é mudança de base em espaços vetoriais finito-dimensionais. Para resolver, vamos usar a relação que liga as coordenadas em alpha e em beta.

Passo 2

Sabemos que a matriz [I]alpha^beta converte coordenadas de alpha em coordenadas de beta. Ou seja, vale a fórmula
[v]beta = [I]alpha^beta,[v]alpha
Portanto, basta multiplicar a matriz de mudança de base pelo vetor de coordenadas em alpha.

Passo 3

Fazendo o produto
[v]beta = 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1 123 = 1cdot1 + 1cdot2 + 0cdot3 0cdot1 + (-1)cdot2 + 1cdot3 1cdot1 + 0cdot2 + (-1)cdot3 = 31-2

Resposta

[v]beta = 31-2

Exercícios relacionados