Dadas duas bases alpha=v1, u2, u3 e beta=v1, v2, v3 de um espaço vetorial W, suponha que u1=v1+v2+v3, u2=v1+3 v2-v3 e u3=v1+v2. Determine Mbeta alpha. Além disso, se x in W e conhecemos [x]beta, qual a expressão que determina [x]alpha?

Passo 1

O enunciado trata de mudança de base num espaço vetorial W. Temos duas bases
alpha=vec u1,vec u2,vec u3 e beta=vec v1,vec v2,vec v3,
com
vec u1=vec v1+vec v2+vec v3, vec u2=vec v1+3vec v2-vec v3, vec u3=vec v1+vec v2
Queremos encontrar a matriz de mudança de coordenadas Mbetaalpha que leva coordenadas em alpha para coordenadas em beta, e depois achar a fórmula que expressa [vec x]alpha em função de [vec x]beta.

Passo 2

Por definição, as colunas de Mbetaalpha são as coordenadas dos vetores de alpha escritas em beta. Ou seja, se [vec uj]beta é a coluna j, então
Mbetaalpha=l([vec u1]beta;|;[vec u2]beta;|;[vec u3]betar),
e vale sempre
[vec x]beta = Mbetaalpha,[vec x]alpha

Passo 3

Calculemos cada coordenada em beta:
[u1]beta = 1 1 1, [u2]beta = 1 3 -1, [u3]beta = 1 1 0
Logo,
Mbetaalpha = 1 & 1 & 1 [6pt] 1 & 3 & 1 [6pt] 1 & -1 & 0 ]

Passo 4

A relação entre coordenadas é
[vec x]beta = Mbetaalpha,[vec x]alpha
Para achar [vec x]alpha a partir de [vec x]beta, basta inverter Mbetaalpha:
[vec x]alpha = Mbetaalpha^-1,[vec x]beta

Passo 5

Calculando det Mbetaalpha = -2 e a matriz adjunta, obtemos
Mbetaalpha^-1 = -tfrac12 1 & -1 & -2 1 & -1 & 0 -4 & 2 & 2 = -tfrac12 & tfrac12 & 1 [4pt] -tfrac12 & tfrac12 & 0 [4pt] 2 & -1 & -1 ]

Passo 6

Portanto, além de
Mbetaalpha = 1 & 1 & 1 [4pt] 1 & 3 & 1 [4pt] 1 & -1 & 0 ,
a expressão que dá [x]alpha em função de [x]beta = (x1, x2, x3)^T é
[x]alpha = -tfrac12 & tfrac12 & 1 [4pt] -tfrac12 & tfrac12 & 0 [4pt] 2 & -1 & -1 x1 x2 x3 ]

Resposta

Mbetaalpha = 1 & 1 & 1 [4pt] 1 & 3 & 1 [4pt] 1 & -1 & 0 ,
e
[x]alpha = -tfrac12 & tfrac12 & 1 [4pt] -tfrac12 & tfrac12 & 0 [4pt] 2 & -1 & -1 [x]beta ]

Exercícios relacionados