Seja T: R^n R^m uma transformação linear.
Suponha que u, v subset R^n é LI, mas T(u), T(v) é LD. Mostre que T(x)=0 tem uma solução não-trivial.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma transformação linear
T:R^ntoR^m
e dois vetores vec u,vec vinR^n que são linearmente independentes, mas cujas imagens T(vec u) e T(vec v) são linearmente dependentes. Precisamos mostrar que a equação homogênea
T(vec x)=vec 0
admite solução não-trivial, ou seja, existe vec xneqvec0 tal que T(vec x)=vec0.

Passo 2

Como T(vec u),T(vec v) é linearmente dependente, existem escalares a,b, nem ambos zero, tais que
a,T(vec u)+b,T(vec v)=vec0

Passo 3

Pela linearidade de T temos
a,T(vec u)+b,T(vec v) = Tl(avec u + bvec vr) = vec0
Logo vec x = avec u + bvec v satisfaz T(vec x)=vec0.

Passo 4

Resta verificar que vec xneqvec0. Como ,vec u,vec v é LI, a combinação avec u + bvec v só pode ser o vetor zero se a=0 e b=0. Mas pela dependência de T(vec u),T(vec v) sabemos que nem a nem b são simultaneamente zero. Logo vec xneqvec0.

Resposta

A equação T(vec x)=vec0 tem solução não-trivial vec x=avec u+bvec vneqvec0.

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