Seja
uma transformação linear.
Suponha que
é LI, mas
é LD. Mostre que
tem uma solução não-trivial.
Suponha que
Passo 1
O enunciado diz que temos uma transformação linear
e dois vetores
que são linearmente independentes, mas cujas imagens
e
são linearmente dependentes. Precisamos mostrar que a equação homogênea
admite solução não-trivial, ou seja, existe
tal que
.
Passo 2
Como
é linearmente dependente, existem escalares
, nem ambos zero, tais que
Passo 3
Pela linearidade de
temos
Logo
satisfaz
.
Passo 4
Resta verificar que
. Como
é LI, a combinação
só pode ser o vetor zero se
e
. Mas pela dependência de
sabemos que nem
nem
são simultaneamente zero. Logo
.
Resposta
A equação
tem solução não-trivial
.