Seja uma transformação linear dada pela matriz . T é sobrejetora? Justifique. Caso T não seja sobrejetora, determine um elemento em R^3 backslashIm(T).
Passo 1
O enunciado define como transformação linear cuja matriz em relação à base canônica é \r
\r
Pergunta-se se é sobrejetora, ou seja, se . O critério clássico é verificar se .
Passo 2
Para checar basta calcular o determinante. Se , então e é sobrejetora; se , e não é sobrejetora.
Passo 3
Calculamos \r
det(A) =25&1-4&0 -33&1-2&0 +13&5-2&-4 \r
Cada um dos menores é\r
5&1-4&0=5cdot0-1cdot(-4)=4,
3&1-2&0=3cdot0-1cdot(-2)=2,
3&5-2&-4=3cdot(-4)-5cdot(-2)=-12+10=-2 \r
Logo\r
det(A)=2cdot4-3cdot2+1cdot(-2)=8-6-2=0
Passo 4
Como , concluímos que , ou seja, tem dimensão no máximo 2, logo não é sobrejetora. Para confirmar , podemos fazer eliminação de Gauss: \r
\r
mostrando dois pivôs e .
Passo 5
Como \r
Para encontrar basta resolver . Isso leva ao sistema\r
\r
Dessa solução surge (n=(-2,2,1)]. Logo \r
Passo 6
Basta agora escolher um vetor que não satisfaça -2x+2y+z=0. Por exemplo,
w=(0,0,1)
gera -2cdot0+2cdot0+1=1neq0, logo wnotinIm(T).
Resposta
T não é sobrejetora. Um exemplo de vetor fora da imagem é (0,0,1).