Sejam alpha=u1=(0,1,2), u2=(1,0,1), u3=(0,1,0) e beta=v1, v2, v3 bases do R^3 tais que v1=u1+u2-u3, v2=u1-u2-u3 e v3=u1-u2+u3.
Determine a matriz de mudança de base, da base alpha para a base beta.

Passo 1

O enunciado define duas bases de R^3:
alpha=vec u1,vec u2,vec u3 com
vec u1=(0,1,2), vec u2=(1,0,1), vec u3=(0,1,0)
e beta=vec v1,vec v2,vec v3 com
vec v1=vec u1+vec u2-vec u3,
vec v2=vec u1-vec u2-vec u3,
vec v3=vec u1-vec u2+vec u3.
A missão é encontrar a matriz de mudança de base de alpha para beta, ou seja, a matriz P tal que
[x]beta = P,[x]alpha

Passo 2

Calculamos primeiro as coordenadas de vec vi em relação à base alpha. Usando
vec u1=(0,1,2), vec u2=(1,0,1), vec u3=(0,1,0),
temos
vec v1 = vec u1+vec u2-vec u3 = (1,0,3),
vec v2 = vec u1-vec u2-vec u3 = (-1,0,1),
vec v3 = vec u1-vec u2+vec u3 = (-1,2,1)

Passo 3

Montamos a matriz M cujas colunas são [vec v1]alpha,[vec v2]alpha,[vec v3]alpha:
M = 1 & -1 & -1 0 & 0 & 2 3 & 1 & 1
Ela satisfaz [x]alpha=M,[x]beta. Logo, a matriz de mudança que queremos é
P = M^-1,
pois assim [x]beta=P,[x]alpha.

Passo 4

Para inverter M, calculamos
det(M) = -8
e a matriz dos cofatores (transposta)
adj(M)= -2 & 0 & -2 6 & 4 & -2 0 & -4 & 0
Assim
M^-1 = 1det(M),adj(M) = -tfrac18 -2 & 0 & -2 6 & 4 & -2 0 & -4 & 0 = tfrac14 & 0 & tfrac14 -tfrac34 & -tfrac12 & tfrac14 0 & tfrac12 & 0

Resposta

A matriz de mudança de base de alpha para beta é
P = tfrac14 & 0 & tfrac14 -tfrac34 & -tfrac12 & tfrac14 0 & tfrac12 & 0

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