Sejam alpha=u1=(0,1,2), u2=(1,0,1), u3=(0,1,0) e beta=v1, v2, v3 bases do R^3 tais que v1=u1+u2-u3, v2=u1-u2-u3 e v3=u1-u2+u3.
Encontre [v]beta, se v=(2,1,-3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente encontrar as coordenadas do vetor v = (2,1,-3) na base beta. Estamos trabalhando com o espaço R^3, e as bases envolvidas são alpha e beta. Para resolver isso, vamos precisar entender como as vetores da base beta estão relacionados com os da base alpha e depois usar isso para expressar v na base beta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as vetores da base beta em termos da base alpha. As definições dadas são:
v1 = u1 + u2 - u3,
v2 = u1 - u2 - u3,
v3 = u1 - u2 + u3
Sabemos que na base canônica de R^3, as coordenadas dos ui são:
u1 = (0,1,2),
u2 = (1,0,1),
u3 = (0,1,0)

Passo 3

Agora, vamos expressar as vetores v1, v2 e v3 nas coordenadas canônicas substituindo os valores de ui:
v1 = (0,1,2) + (1,0,1) - (0,1,0) = (1,0,3),
v2 = (0,1,2) - (1,0,1) - (0,1,0) = (-1,0,1),
v3 = (0,1,2) - (1,0,1) + (0,1,0) = (-1,2,1)

Passo 4

Para encontrar as coordenadas de [\vec{v} = (2,1,-3)) na base , precisamos resolver o sistema linear:
Substituindo os valores das :
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema:
Da segunda equação:
Substituindo (c_{3}] na primeira equação:
E na terceira equação:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

As coordenadas do vetor v = (2,1,-3) na base beta são:
[v]beta = ( -14, -114, 12 )

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