Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente encontrar as coordenadas do vetor na base . Estamos trabalhando com o espaço , e as bases envolvidas são e . Para resolver isso, vamos precisar entender como as vetores da base estão relacionados com os da base e depois usar isso para expressar na base .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as vetores da base em termos da base . As definições dadas são:
Sabemos que na base canônica de , as coordenadas dos são:
Passo 3
Agora, vamos expressar as vetores , e nas coordenadas canônicas substituindo os valores de :
Passo 4
Para encontrar as coordenadas de [\vec{v} = (2,1,-3)) na base , precisamos resolver o sistema linear:
Substituindo os valores das :
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema:
Da segunda equação:
Substituindo (c_{3}] na primeira equação:
E na terceira equação:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Resposta
As coordenadas do vetor v = (2,1,-3) na base beta são: