Mostre que a reta que contém os centros de duas circuiferências tangentes contém o ponto de contato, isto é, o ponto comum às duas circunferências.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos duas circunferências tangentes em um ponto comum T, de centros O_{1} e O_{2}. O objetivo é mostrar que a reta que passa por O_{1} e O_{2} também contém T. O conteúdo usado é geometria plana, em particular a propriedade da tangente a uma circunferência.

Passo 2

Em geometria de círculos, a reta tangente a uma circunferência em seu ponto de contato é perpendicular ao raio que chega a esse ponto. Seja \ell a reta tangente às duas circunferências em T. Então, para a circunferência de centro O_{1} vale
\ell \perp O_{1}T,
e, analogamente, para a circunferência de centro O_{2} vale
\ell \perp O_{2}T.

Passo 3

Como ambas as retas O_{1}T e O_{2}T são perpendiculares à mesma reta \ell, segue-se que
O_{1}T \parallel O_{2}T.
Mas duas retas paralelas que passam pelo mesmo ponto T coincidem, ou seja, formam uma única reta. Dessa forma, os três pontos O_{1}, T e O_{2} são colineares.

Resposta

A reta que contém os centros O_{1} e O_{2} passa pelo ponto de tangência T.

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