Dadas duas funções continuas f(x) <= g(x), a <= x <= b, a área, a, da região compreendida entre as curvas é dada por a=integrala^b[g(x)-f(x)] d x. Assim, obtenha a área entre as curvas:
y=x e y=x^2

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=x e y=x^2. O conteúdo envolvido é o cálculo de área entre duas curvas usando integração definida: primeiro achamos os pontos de interseção, depois identificamos qual função está acima no intervalo e, por fim, integramos a diferença.

Passo 2

Encontramos os pontos em que as curvas se interceptam resolvendo
x = x^2
ou seja
x^2 - x = 0 Longrightarrow x(x-1)=0
Logo, as interseções ocorrem em x=0 e x=1.

Passo 3

Para x em [0,1], temos
x^2 <= x
portanto podemos tomar
f(x)=x^2, g(x)=x
e a área vem de
a = integral0^1l[g(x)-f(x)r],dx = integral0^1(x - x^2),dx

Passo 4

Calculamos a integral:
integral0^1(x - x^2),dx = [x^22 - x^33]0^1 = l(tfrac12 - tfrac13r) - (0) = tfrac12 - tfrac13 = tfrac16

Resposta

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