Determine o conjunto solução das inequações abaixo:
(a)
(e)
(h)
(l)
(b)
(f)
(i)
(m)
©
(g)
(j)
(n)
(d)
(k)
(o)
.
(a)
(e)
(h)
(l)
(b)
(f)
(i)
(m)
©
(g)
(j)
(n)
(d)
(k)
(o)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, para cada letra de (a) a (o), o conjunto de valores de x que satisfazem inequações envolvendo funções exponenciais e logarítmicas. Vamos usar conteúdo de monotonicidade dessas funções e mudança de base quando precisar.
Passo 2
A função exponencial de base a>1, f(x)=a^x, é estritamente crescente: manteremos a desigualdade ao aplicar logaritmo de base a. Já se 0<a<1, então f(x)=a^x é estritamente decrescente e a desigualdade inverte ao aplicar logaritmo. Para logaritmos, g(x)=log_a(x) é crescente se a>1 e decrescente se 0<a<1. Além disso, o argumento do logaritmo deve ser positivo.
Passo 3
Para as inequações exponenciais com base maior que 1 e expoente linear (itens a, b, c, d e e), aplicamos log_2 ou log_3 conforme a base: (a) 2^x<8 ⇒ x<log_2(8)=3. (b) 2^x<1/8 ⇒ x<log_2(1/8)=−3. © 4^x<8 ⇒ 2{2x}<23 ⇒ 2x<3 ⇒ x<3/2. (d) 3^x<8 ⇒ x<log_3(8)=ln(8)/ln(3). (e) 2^{x−1}<8 ⇒ x−1<3 ⇒ x<4.
Passo 4
No item (f) temos exponencial com base maior que 1 e expoente quadrático: 2{x2−6}<8 ⇒ x^2−6<3 ⇒ x^2<9 ⇒ −3<x<3.
Passo 5
Para as exponenciais com base entre 0 e 1 (itens g e h), a desigualdade inverte ao aplicar logaritmo de base 1/2: (g) (1/2)^x<8 ⇒ x>log_{1/2}(8)=−3. (h) (1/2)^x>8 ⇒ x<−3.
Passo 6
Nos logaritmos de base maior que 1 (itens i, j e n), a desigualdade mantém-se e exige x>0: (i) log_2(x)<4 ⇒ x<2^4=16, logo 0<x<16. (j) log_2(x)>1 ⇒ x>2^1=2, logo x>2. (n) log_2(x)−3<4 ⇒ log_2(x)<7 ⇒ x<2^7=128, logo 0<x<128.
Passo 7
Nos logaritmos de base entre 0 e 1 (itens k, l e m), a desigualdade inverte e exige x>0: (k) log_{1/2}(x)<4 ⇒ x>(1/2)^4=1/16. (l) log_{1/2}(x)>1 ⇒ x<(1/2)^1=1/2. (m) log_{1/3}(x)<−1 ⇒ x>(1/3)^{−1}=3.
Passo 8
Por fim, no item (o) temos ln(x)≤2, com domínio x>0: isso equivale a x≤e^2, ou seja 0<x≤e^2.
Resposta
(a) x<3
(b) x<−3
© x<3/2
(d) x<\frac{\ln8}{\ln3}
(e) x<4
(f) −3<x<3
g) x>−3
(h) x<−3
(i) 0<x<16
(j) x>2
(k) x>1/16
(l) 0<x<1/2
(m) x>3
(n) 0<x<128
(o) 0<x≤e^2
(b) x<−3
© x<3/2
(d) x<\frac{\ln8}{\ln3}
(e) x<4
(f) −3<x<3
g) x>−3
(h) x<−3
(i) 0<x<16
(j) x>2
(k) x>1/16
(l) 0<x<1/2
(m) x>3
(n) 0<x<128
(o) 0<x≤e^2