Dadas duas funções continuas f(x) <= g(x), a <= x <= b, a área, a, da região compreendida entre as curvas é dada por a=integrala^b[g(x)-f(x)] d x. Assim, obtenha a área entre as curvas:
y=sen x e y=cos x,-pi2 <= x <= pi2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a área entre as curvas das funções y = sin x e y = cos x no intervalo de -pi2 a pi2 . Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente sobre área entre curvas usando integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral que representa essa área.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a área entre duas curvas f(x) e g(x) no intervalo de a a b é dada pela integral:
Área = integrala^b [g(x) - f(x)] , dx Á
Aqui, g(x) é a função de cima e f(x) a de baixo no intervalo considerado.

Passo 3

No nosso caso, temos f(x) = sin x e g(x) = cos x , e o intervalo é de -pi2 a pi2 . Então, a área fica:
Área = integral-pi2^pi2 [cos x - sin x] , dx Á

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral. Primeiro, encontramos a antiderivada de cos x - sin x :
integral (cos x - sin x) , dx = sin x + cos x + C
Onde C é a constante de integração, mas como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos nos preocupar com ela.

Passo 5

Em seguida, vamos avaliar a antiderivada nos limites de integração:
[ sin x + cos x ]-pi2^pi2 = ( sin(pi2) + cos(pi2) ) - ( sin(-pi2) + cos(-pi2) )
Sabemos que:
sin(pi2) = 1, cos(pi2) = 0
sin(-pi2) = -1, cos(-pi2) = 0
Substituindo esses valores:
(1 + 0) - (-1 + 0) = 1 - (-1) = 2

Resposta

A área entre as curvas y = sin x e y = cos x no intervalo de -pi2 a pi2 é 2.

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