Dadas duas funções f, g:[0, infty) R com L(f(t))=F(s) e L(g(t))=G(s), mostre que L[(f * g)(t)]=F(s) G(s).

Passo 1

Resumo do enunciado: temos duas funções f,g:[0,infty)toR cujas transformadas de Laplace são F(s)=L[f(t)] e G(s)=L[g(t)]. O objetivo é mostrar que a transformada de Laplace da convolução (f*g)(t) é o produto F(s)G(s). Vamos usar definições de convolução, de transformada de Laplace e trocar a ordem de integração.

Passo 2

Lembrando o que é convolução:
(f*g)(t)=integral0^tf(tau),g(t-tau),dtau
Para calcular L[(f*g)(t)], aplicamos a definição da transformada de Laplace:
L[(f*g)(t)]=integral0^infty(f*g)(t),e^-st,dt

Passo 3

Substituindo a expressão de (f*g)(t) dentro da integral, obtemos uma integral dupla:
L[(f*g)(t)]=integral0^inftyl(integral0^tf(tau),g(t-tau),dtaur)e^-st,dt

Passo 4

Para trocar a ordem de integração, definimos u=t-tau. O par (tau,u) varre a região tau>=0, u>=0. Assim:
$$\mathcal{L}[(f*g)(t)]
=\int_{\tau=0}{\infty}\int_{u=0}{\infty}f(\tau),g(u),e^{-s(\tau+u)},du,d\tau.$$

Passo 5

Agora separamos as integrais porque o integrando fatora em partes que dependem só de tau e só de u:
$$\mathcal{L}[(f*g)(t)]
=\Bigl(\int_{0}{\infty}f(\tau)e{-s\tau},d\tau\Bigr)\cdot\Bigl(\int_{0}{\infty}g(u)e{-su},du\Bigr).$$

Passo 6

Reconhecendo cada integral como as transformadas de Laplace dadas, concluímos:
L[(f*g)(t)]=F(s)cdot G(s)

Resposta

F(s),G(s)

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