Dadas duas funções
e
, mostre que
.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos duas funções
cujas transformadas de Laplace são
e
. O objetivo é mostrar que a transformada de Laplace da convolução
é o produto
. Vamos usar definições de convolução, de transformada de Laplace e trocar a ordem de integração.
Passo 2
Lembrando o que é convolução:
Para calcular
, aplicamos a definição da transformada de Laplace:
Passo 3
Substituindo a expressão de
dentro da integral, obtemos uma integral dupla:
Passo 4
Para trocar a ordem de integração, definimos
. O par
varre a região
. Assim:
$$\mathcal{L}[(f*g)(t)]
=\int_{\tau=0}{\infty}\int_{u=0}{\infty}f(\tau),g(u),e^{-s(\tau+u)},du,d\tau.$$
Passo 5
Agora separamos as integrais porque o integrando fatora em partes que dependem só de
e só de
:
$$\mathcal{L}[(f*g)(t)]
=\Bigl(\int_{0}{\infty}f(\tau)e{-s\tau},d\tau\Bigr)\cdot\Bigl(\int_{0}{\infty}g(u)e{-su},du\Bigr).$$
Passo 6
Reconhecendo cada integral como as transformadas de Laplace dadas, concluímos:
Resposta
F(s),G(s)