Dadas duas matrizes quaisquer
\mu=\left[\begin{array}{ll}\mathrm{a}_{1} & \mathrm{~b}_{1} \\\ \mathrm{c}_{1} & \mathrm{~d}_{1}\end{array}\right] \quad \mathrm{e} \quad v=\left[\begin{array}{ll}\mathrm{a}_{2} & \mathrm{~b}_{2} \\\ \mathrm{c}_{2} & \mathrm{~d}_{2}\end{array}\right],
do espaço vetorial \mathrm{V}=\mathrm{M}_{2}, munido do produto interno
\mu \cdot v=\mathrm{a}_{1} \mathrm{a}_{2}+\mathrm{b}_{1} \mathrm{~b}_{2}+\mathrm{c}_{1} \mathrm{c}_{2}+\mathrm{d}_{1} \mathrm{~d}_{2}
e dados os vetores
\mu=\left[\begin{array}{rr} 2 & 1 \\\\ -2 & 3 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad v=\left[\begin{array}{rr} 2 & 0 \\\\ 1 & -2 \end{array}\right]
calcular:
a) |\mu+v|
b) \mathrm{d}(\mu, v)=|\mu-v|
c) o ângulo entre \mu \mathrm{e} v.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V = M_{2} com o produto interno
\mu \cdot v = a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} + c_{1}c_{2} + d_{1}d_{2}
e os vetores
\mu = \begin{pmatrix}2 & 1\\\ -2 & 3\end{pmatrix},\quad v = \begin{pmatrix}2 & 0\\\ 1 & -2\end{pmatrix}.
Precisamos calcular
a) \lvert \mu + v\rvert,
b) \mathrm{d}(\mu,v)=\lvert \mu - v\rvert,
c) o ângulo entre \mu e v.

Passo 2

Calcular \mu + v e sua norma. Temos
\mu + v = \begin{pmatrix}2 & 1\\\ -2 & 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 & 0\\\ 1 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 1\\\ -1 & 1\end{pmatrix}.
Pela definição da norma \lvert X\rvert = \sqrt{X\cdot X},
\lvert \mu+v\rvert^{2} = 4^{2} + 1^{2} + (-1)^{2} + 1^{2} = 16 + 1 + 1 + 1 = 19,
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\lvert \mu+v\rvert = \sqrt{19}.

Passo 3

Calcular \mu - v e a distância. Temos
\mu - v = \begin{pmatrix}2 & 1\\\ -2 & 3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 & 0\\\ 1 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ -3 & 5\end{pmatrix}.
Então
\lvert \mu-v\rvert^{2} = 0^{2} + 1^{2} + (-3)^{2} + 5^{2} = 0 + 1 + 9 + 25 = 35,
e
\mathrm{d}(\mu,v)=\lvert \mu-v\rvert = \sqrt{35}.

Passo 4

Calcular o produto interno \mu\cdot v, as normas individuais e o cosseno do ângulo.
\mu\cdot v = 2\cdot2 + 1\cdot0 + (-2)\cdot1 + 3\cdot(-2) = 4 + 0 -2 -6 = -4.
As normas são
\lvert \mu\rvert = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + (-2)^{2} + 3^{2}} = \sqrt{4 + 1 + 4 + 9} = \sqrt{18},
\lvert v\rvert = \sqrt{2^{2} + 0^{2} + 1^{2} + (-2)^{2}} = \sqrt{4 + 0 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3.
O cosseno do ângulo \theta entre eles é
\cos\theta = \frac{\mu\cdot v}{\lvert \mu\rvert\,\lvert v\rvert} = \frac{-4}{\sqrt{18}\times3} = \frac{-4}{3\sqrt{18}} = -\frac{2\sqrt{2}}{9}.
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\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(-\tfrac{2\sqrt{2}}{9}\bigr).

Resposta

(a) \sqrt{19}
(b) \sqrt{35}
(c) \theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(-\tfrac{2\sqrt{2}}{9}\bigr)

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