Demonstre as identidades:
\frac{\operatorname{sen} 2 x}{1+\cos 2 x} \cdot \frac{\cos x}{1+\cos x}=\operatorname{tg} \frac{x}{2}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade
\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}\;\cdot\;\frac{\cos x}{1+\cos x} \;=\;\tan\!\biggl(\frac{x}{2}\biggr).
Para isso vamos usar as fórmulas de ângulo duplo \sin 2x = 2\sin x\cos x e \cos 2x = 2\cos^2 x - 1,
e a fórmula de ângulo metade \tan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)=\frac{\sin x}{1+\cos x}.

Passo 2

Começando pelo primeiro quociente, aplicamos as fórmulas de ângulo duplo:
\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x} = \frac{2\sin x \cos x}{1 + (2\cos^2 x - 1)} = \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x.

Passo 3

Agora multiplicamos pelo segundo fator e simplificamos:
\tan x \;\cdot\;\frac{\cos x}{1+\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x}\;\cdot\;\frac{\cos x}{1+\cos x} = \frac{\sin x}{1+\cos x}.

Passo 4

Reconhecemos que
\frac{\sin x}{1+\cos x}
é justamente a expressão da tangente de meia-diferença, ou seja,
\tan\!\biggl(\frac{x}{2}\biggr) = \frac{\sin x}{1+\cos x}.
Isso mostra que a expressão original vale \tan(x/2).

Resposta

\tan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)

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