Nos problemas 21 a 24 , considerando o produto interno usual no \mathbb{R}^{2}, no \mathbb{R}^{3} e no \mathbb{R}^{4}, calcular o ângulo entre os pares de vetores dados em cada um deles.
\mu=(1,2,-1,-2) e \quad v=(0,1,-1,-2)

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre os vetores \mu=(1,2,-1,-2) e v=(0,1,-1,-2) em \mathbb{R}^4 com o produto interno usual. Para isso, vamos usar a definição
\cos\theta = \frac{\langle \mu, v \rangle}{\|\mu\|\;\|v\|}\,,
onde \langle \mu,v\rangle é o produto interno e \|\cdot\| é a norma Euclidiana.

Passo 2

Calculamos o produto interno
\langle \mu,v\rangle = 1\cdot0 \;+\; 2\cdot1 \;+\; (-1)\cdot(-1)\;+\;(-2)\cdot(-2) = 0 + 2 + 1 + 4 = 7.

Passo 3

Agora as normas:
\|\mu\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1 + 4} = \sqrt{10},
\|v\| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1 + 4} = \sqrt{6}.

Passo 4

Substituindo na fórmula do cosseno:
\cos\theta = \frac{7}{\sqrt{10}\,\sqrt{6}} = \frac{7}{\sqrt{60}} = \frac{7}{2\sqrt{15}}.
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\theta = \operatorname{arccos}\bigl(\tfrac{7}{2\sqrt{15}}\bigr) \approx 25{,}1^\circ.

Resposta

\displaystyle \theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{7}{2\sqrt{15}}\bigr)\approx25{,}1^\circ

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