Nos problemas 21 a 24 , considerando o produto interno usual no \mathbb{R}^{2}, no \mathbb{R}^{3} e no \mathbb{R}^{4}, calcular o ângulo entre os pares de vetores dados em cada um deles.
\mu=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \quad e \quad v=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o ângulo entre os vetores \mu=\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\,\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr) e v=\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2},\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)
no espaço \mathbb{R}^2 com o produto interno usual. Vamos usar a fórmula que relaciona produto escalar e coseno do ângulo.

Passo 2

A fórmula para o ângulo \theta entre dois vetores a e b é
\cos\theta = \frac{\langle a,\,b\rangle}{\|a\|\;\|b\|},
onde \langle a,b\rangle é o produto escalar e \|\cdot\| é a norma euclidiana.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar
\langle \mu,\,v\rangle = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\cdot\frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{2}.

Passo 4

Agora as normas:
\|\mu\| = \sqrt{\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)^2} = \sqrt{\tfrac12 + \tfrac12} = 1,
\|v\| = \sqrt{\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)^2} = \sqrt{\tfrac34 + \tfrac34} = \sqrt{\tfrac32} = \frac{\sqrt{6}}{2}.

Passo 5

Substituindo na fórmula do cosseno:
\cos\theta = \frac{\langle \mu,\,v\rangle}{\|\mu\|\;\|v\|} = \frac{\tfrac{\sqrt{6}}{2}}{1\cdot \tfrac{\sqrt{6}}{2}} = 1.
Como \cos\theta=1, concluímos que \theta=0.

Resposta

O ângulo entre \mu e v é 0 (rad), ou seja, 0^\circ.

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