Dadas as equações abaixo, classifique as cônicas e determine seus elementos:
x^2-2 x+4 y-7=0

Passo 1

O enunciado dá a equação de segundo grau
x^2 - 2x + 4y - 7 = 0
e pede para classificar a cônica e determinar seus elementos (vértice, foco, diretriz, eixo de simetria, etc.). Vamos reconhecer o tipo de cônica observando os termos em x^2, y^2 e xy, e depois completaremos o quadrado para achar a forma canônica.

Passo 2

Na equação só aparece o termo x^2, não há y^2 nem termo misto xy. Isso indica que a cônica é uma parábola cujo eixo é vertical (paralelo ao eixo y).

Passo 3

Para pôr em forma canônica, completamos o quadrado em x:
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
Substituindo na equação original:
(x - 1)^2 - 1 + 4y - 7 = 0 Longrightarrow (x - 1)^2 + 4y - 8 = 0
Isolando y:
4y = 8 - (x - 1)^2 Longrightarrow (x - 1)^2 = -4,(y - 2)

Passo 4

A forma
(x - h)^2 = -4p,(y - k)
é a de uma parábola com vértice (h,k), parâmetro focal p e que abre para baixo se o sinal de -4p for negativo. Aqui temos:
h = 1, k = 2, -4p = -4 ;Longrightarrow; p = 1
Porém atenção: a comparação direta dá -4p = -4, logo p = 1. Para conferir, note que a distância do vértice ao foco será p.
  • Vértice: ,(h,k)=(1,2).
  • Foco: ,(h,;k - p) = (1,,2 - 1) = (1,,1).
  • Diretriz: reta y = k + p = 2 + 1 = 3.
  • Eixo de simetria: reta vertical x = h = 1.

Resposta

Parábola de eixo vertical que abre para baixo, com
vértice (1,2),
foco (1,1),
diretriz y = 3
e eixo de simetria x = 1.

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