Dadas as equações abaixo, classifique as cônicas e determine seus elementos:
x^2-y^2-6 x-2 y=28

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^2-y^2-6x-2y=28
e pede para classificar a cônica e determinar seus elementos principais (centro, eixos, vértices, focos, assíntotas e excentricidade). Vamos usar o método de completar quadrados para reduzir à forma padrão de uma hipérbole.

Passo 2

Reúnem-se termos em x e em y e completa-se o quadrado em cada grupo:
x^2-6x;-;(y^2+2y)=28
Para x: x^2-6x+9=(x-3)^2.
Para y: y^2+2y+1=(y+1)^2.
Logo, somamos 9+1 em ambos os lados:
(x-3)^2 - (y+1)^2 = 28 + 9 + 1 = 38

Passo 3

Dividindo por 38 obtemos a forma padrão da hipérbole:
(x-3)^238 ;-;(y+1)^238 ;=;1
Daí concluímos que se trata de uma hipérbole com eixos alinhados aos eixos coordenados e centro em
C=(3,,-1)
Os parâmetros são
a^2=38, b^2=38

Passo 4

Os vértices estão a uma distância a=raiz38 do centro ao longo do eixo transverso (direção x). Assim:
V1=l(3+raiz38,,-1r), V2=l(3-raiz38,,-1r)

Passo 5

O foco F de uma hipérbole satisfaz c^2=a^2+b^2. Aqui
c^2=38+38=76, c=raiz76=2raiz19
Portanto os focos são
F1=l(3+2raiz19,,-1r), F2=l(3-2raiz19,,-1r)

Passo 6

A excentricidade é
e=ca=2raiz19raiz38=raiz2

Passo 7

As assíntotas de
(x-3)^238-(y+1)^238=1
são dadas por
y+1=pmba,(x-3)Longrightarrow y+1=pm(x-3)
Isto é,
y = (x-3)-1 = x-4 e y=-(x-3)-1=-x+2

Resposta

Classificação: hipérbole centrada em (3,-1) com eixos paralelos aos eixos coordenados.
Centro: (3,-1)
Vértices: l(3pmraiz38,-1r)
Focos: l(3pm2raiz19,-1r)
Excentricidade: e=raiz2
Assíntotas:
y=x-4, y=-x+2

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