Dadas as equações abaixo, classifique as cônicas e determine seus elementos:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para classificar a cônica e determinar seus elementos principais (centro, eixos, vértices, focos, assíntotas e excentricidade). Vamos usar o método de completar quadrados para reduzir à forma padrão de uma hipérbole.
Passo 2
Reúnem-se termos em
e em
e completa-se o quadrado em cada grupo:
Para
:
.
Para :
.
Logo, somamos em ambos os lados:
Para
Logo, somamos
Passo 3
Dividindo por
obtemos a forma padrão da hipérbole:
Daí concluímos que se trata de uma hipérbole com eixos alinhados aos eixos coordenados e centro em
Os parâmetros são
Passo 4
Os vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo transverso (direção
). Assim:
Passo 5
O foco
de uma hipérbole satisfaz
. Aqui
Portanto os focos são
Passo 6
A excentricidade é
Passo 7
As assíntotas de
são dadas por
são dadas por
Isto é,
Resposta
Classificação: hipérbole centrada em
com eixos paralelos aos eixos coordenados.
Centro:
Vértices:
Focos:
Excentricidade:
Assíntotas:
Centro:
Vértices:
Focos:
Excentricidade:
Assíntotas: