Mostre que o conjunto
(rr 2 & 3 -1 & 0 ),(ll 1 & -1 0 & -2 ), (cc -3 & -2 1 & 1 ), (rr 3 & -7 -2 & 5 )
é uma base de M2 times 2(R).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto de quatro matrizes
A=2&3-1&0, B=1&-10&-2, C=-3&-21&1, D=3&-7-2&5
é uma base de M2times2(R).
O espaço M2times2(R) tem dimensão 4, logo basta mostrar que essas quatro matrizes são linearmente independentes.

Passo 2

Para verificar independência, fazemos a combinação linear genérica
xA + yB + zC + wD = 02times2
com escalares x,y,z,winR, e mostramos que isso implica x=y=z=w=0.

Passo 3

Escrevendo a soma entrada a entrada, temos
x2&3-1&0 +y1&-10&-2 +z-3&-21&1 +w3&-7-2&5 = 0&00&0
Isso gera o sistema
2x + y - 3z + 3w = 0, 3x - y - 2z - 7w = 0, -,x + 0cdot y + z - 2w = 0, 0cdot x - 2y + z + 5w = 0

Passo 4

Do terceiro item obtemos
-,x + z - 2w = 0 Longrightarrow z = x + 2w
Somando a primeira e a segunda equações:
(2x + y - 3z + 3w) + (3x - y - 2z - 7w) = 0 ;Longrightarrow; 5x -5z -4w = 0
Substituindo z = x + 2w nessa última:
5x -5(x+2w) -4w = 0 ;Longrightarrow; 5x -5x -10w -4w = 0 ;Longrightarrow; -14w = 0 ;Longrightarrow; w = 0
Logo z = x.

Passo 5

Use agora a quarta equação:
-2y + z + 5w = 0 Longrightarrow -2y + x +0 = 0 Longrightarrow x = 2y
E volte à primeira equação com z=x e w=0:
2x + y -3x + 0 = 0 ;Longrightarrow; -,x + y = 0 ;Longrightarrow; y = x
Daí x = 2y e y = x implicam x = 2x, logo x=0. Consequentemente y=0, z=x=0, w=0.

Resposta

Como a única solução é x=y=z=w=0, as matrizes A,B,C,D são linearmente independentes. Como são quatro em um espaço de dimensão 4, formam uma base de M2times2(R).

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