Seja U subespaço vetorial de R^4 dado por U=(x, y, z, t) in R^4 ; x+2 y-z=0 e t=0. Pergunta-se:
Determine dois vetores de geram W. Eles são únicos? Se não, apresente outros.

Passo 1

O enunciado pede dois vetores que gerem o subespaço
U=(x,y,z,t)inR^4mid x+2y-z=0, t=0.
Aqui o conteúdo é representação paramétrica de um subespaço definido por restrições lineares.

Passo 2

Da condição x+2y-z=0 e t=0 temos
x = -2y + z, t = 0
Logo um vetor genérico em U é
(x,y,z,t) =(-2y+z,;y,;z,;0) = y,(-2,1,0,0)+z,(1,0,1,0)

Passo 3

Dessa expressão vemos que
U=span,(-2,1,0,0),,(1,0,1,0).
Portanto, os vetores
v1=(-2,1,0,0) e v2=(1,0,1,0) geram U.

Passo 4

Verificamos que v1 e v2 são linearmente independentes, pois nenhuma combinação não trivial a,v1+b,v2=0 além de a=b=0 existe. Assim formam uma base de U.

Passo 5

Esses vetores não são únicos. Por exemplo, definindo
w1 = v1 + v2 = (-2,1,0,0)+(1,0,1,0)=(-1,1,1,0), w2 = v2 = (1,0,1,0),
também temos U=spanw1,w2.

Resposta

Vetores geradores escolhidos:
(-2,1,0,0)e(1,0,1,0)
Eles não são únicos. Um outro par gerador é
(-1,1,1,0)e(1,0,1,0)

Exercícios relacionados