Dadas as equações das cônicas abaixo. Determine:
a) Excentricidade.
b) Identificar a cônica.
c) Escreve a equação da reta diretriz.
d) Trace o gráfico da Cônica.
-
- $r=\operatorname{cossec}(\theta)[\operatorname{cossec}(\theta)-\operatorname{cotg}(\theta)]
a) Excentricidade.
b) Identificar a cônica.
c) Escreve a equação da reta diretriz.
d) Trace o gráfico da Cônica.
Passo 1
O enunciado dá duas fórmulas que são algebraicamente idênticas em coordenadas polares:
Queremos achar, para cada uma,
a) a excentricidade ,
b) o tipo de cônica,
c) a reta diretriz,
d) esboçar o gráfico.
Para isso vamos simplificar cada expressão usando identidades trigonométricas e compará-la com a forma padrão de cônicas em polares
a) a excentricidade
b) o tipo de cônica,
c) a reta diretriz,
d) esboçar o gráfico.
Para isso vamos simplificar cada expressão usando identidades trigonométricas e compará-la com a forma padrão de cônicas em polares
Passo 2
Use as identidades
Então
Note que
, logo
Passo 3
A forma-padrão de uma cônica com foco na origem e eixo polar no sentido positivo de
é
Comparando com
vemos que
e
.
Passo 4
Como
, a cônica é uma parábola. A reta diretriz associada a
é
Aqui
, logo a reta diretriz é
Passo 5
Para esboçar, passemos à forma cartesiana. A condição da parábola é
que, ao elevar ao quadrado, dá
Isto é uma parábola com vértice em
, foco em
e diretriz
, que abre para a direita.
Resposta
a)
b) parábola.
c) reta diretriz:
d) esboço: parábola de vértice em , foco em
, eixo no sentido positivo de
e diretriz
.
b) parábola.
c) reta diretriz:
d) esboço: parábola de vértice em