Dadas as equações das cônicas abaixo. Determine:
a) Excentricidade.
b) Identificar a cônica.
c) Escreve a equação da reta diretriz.
d) Trace o gráfico da Cônica.
  1. r=\operatorname{cossec}^{2}(\theta)-\operatorname{cossec}(\theta) \operatorname{cotg}(\theta)
  2. $r=\operatorname{cossec}(\theta)[\operatorname{cossec}(\theta)-\operatorname{cotg}(\theta)]

Passo 1

O enunciado dá duas fórmulas que são algebraicamente idênticas em coordenadas polares:
r = \csc^2\theta - \csc\theta\,\cot\theta \quad\text{e}\quad r = \csc\theta\bigl(\csc\theta - \cot\theta\bigr).
Queremos achar, para cada uma,
a) a excentricidade e,
b) o tipo de cônica,
c) a reta diretriz,
d) esboçar o gráfico.
Para isso vamos simplificar cada expressão usando identidades trigonométricas e compará-la com a forma padrão de cônicas em polares
r = \frac{e\,d}{1 + e\cos\theta}\,.

Passo 2

Use as identidades
\csc^2\theta = \frac{1}{\sin^2\theta}, \qquad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}.
Então
r = \frac{1}{\sin^2\theta} - \frac{1}{\sin\theta}\,\frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin^2\theta}.
Note que \sin^2\theta=(1-\cos\theta)(1+\cos\theta), logo
r = \frac{1-\cos\theta}{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)} = \frac{1}{1+\cos\theta}.

Passo 3

A forma-padrão de uma cônica com foco na origem e eixo polar no sentido positivo de x é
r = \frac{e\,d}{1 + e\cos\theta}.
Comparando com
r = \frac{1}{1 + \cos\theta},
vemos que e=1 e e\,d=1\implies d=1.

Passo 4

Como e=1, a cônica é uma parábola. A reta diretriz associada a
r = \frac{e\,d}{1 + e\cos\theta}
é
x = -d.
Aqui d=1, logo a reta diretriz é
x = -1.

Passo 5

Para esboçar, passemos à forma cartesiana. A condição da parábola é
\sqrt{x^2 + y^2} = x + 1,
que, ao elevar ao quadrado, dá
x^2 + y^2 = x^2 + 2x + 1 \quad\Longrightarrow\quad y^2 = 2x + 1 \quad\Longrightarrow\quad y^2 = 2\bigl(x + \tfrac12\bigr).
Isto é uma parábola com vértice em \bigl(-\tfrac12,0\bigr), foco em (0,0) e diretriz x=-1, que abre para a direita.

Resposta

a) \displaystyle e=1.
b) parábola.
c) reta diretriz: x=-1.
d) esboço: parábola de vértice em \bigl(-\tfrac12,0\bigr), foco em (0,0), eixo no sentido positivo de x e diretriz x=-1.

Exercícios relacionados