Um empréstimo de A reais deve ser amortizado durante n anos a uma taxa anual r de juros capitalizados mensalmente. Seja i=\frac{r}{12} a taxa mensal de juros equivalente. Nesse caso, o valor das prestações mensais é M reais, onde M(A, n, i)=\frac{A i}{1-(1+i)^{-12 n}}.
Alice comprou um apartamento por \mathrm{R} \ 250.000,00 financiados em 15 anos a juros fixos de5,2 %$ ao ano. Qual é o valor das prestações mensais? Qual é o valor total dos juros que a moça vai pagar?

Passo 1

O problema é um financiamento de A reais em n anos a juros compostos com taxa anual r capitalizada mensalmente. Definimos a taxa mensal equivalente como
i = \frac{r}{12},
e sabemos que a prestação mensal M satisfaz
M(A,n,i) = \frac{A\,i}{1 - (1+i)^{-12\,n}}.

Passo 2

Identificamos os dados do enunciado:
A = 250\,000,
n = 15,
r = 5{,}2\% = 0{,}052.
Então a taxa mensal é
i = \frac{0{,}052}{12} \approx 0{,}0043333333.

Passo 3

Substituímos na fórmula de M:
M = \frac{250\,000 \times 0{,}0043333333}{1 - \bigl(1 + 0{,}0043333333\bigr)^{-12\times 15}}.

Passo 4

Calculamos o fator \bigl(1+i\bigr)^{-12n}. Primeiro
1 + i = 1{,}0043333333,\quad 12n = 180,
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\bigl(1+i\bigr)^{-180} = \exp\bigl(-180\ln(1{,}0043333333)\bigr) \approx 0{,}45882.
O denominador da fração fica
1 - 0{,}45882 = 0{,}54118.

Passo 5

Portanto a prestação mensal é
M \approx \frac{250\,000 \times 0{,}0043333333}{0{,}54118} \approx 2\,002{,}68.

Passo 6

O valor total pago ao longo de 15 anos ( 180 prestações) é
180 \times 2\,002{,}68 \approx 360\,482{,}40.
Como o principal foi 250\,000, os juros totais pagos são
360\,482{,}40 - 250\,000 = 110\,482{,}40.

Resposta

Prestação mensal: R$ 2002,68
Juros totais pagos: R$ 110482,40

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