Dadas as equações da curva diretriz determine a equação da superfície cônica que tem vértice na origem O=(0,0,0).
x^2-4 z^2=4 e y=3

Passo 1

O enunciado pede a superfície cônica com vértice em O=(0,0,0) cuja curva diretriz é dada pela interseção do plano y=3 com a hipérbole
x^2-4z^2=4
O que precisamos é usar o fato de que todo ponto P=(x,y,z) da superfície está na reta que liga O a algum ponto (x0,3,z0) da diretriz.

Passo 2

Escrevemos um ponto genérico da diretriz como
Q=(x0,3,z0),
sujeito a
x0^2-4z0^2=4

Passo 3

Qualquer ponto P do cone resulta de
P = t,Q = l(t,x0,,3t,,t,z0r),
para algum escalar t. Logo
x = t,x0, y=3t, z=t,z0
Em particular t=y/3, e portanto
x0 = xt = 3xy, z0 = zt = 3zy

Passo 4

Como (x0,z0) deve satisfazer x0^2-4z0^2=4, substituímos:
l(3xyr)^2 -4l(3zyr)^2 =4
Isso dá
9x^2-36z^2y^2=4 Longrightarrow 9x^2-36z^2=4y^2 Longrightarrow 9x^2-4y^2-36z^2=0

Resposta

9x^2-4y^2-36z^2=0

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