Dadas as equações da curva diretriz e um vetor paralelo às retas geratrizes determine a equação da superfície cilíndrica
4 x^2+z^2+4 z=0, y=0 e V=(4,1,0)

Passo 1

O enunciado dá como diretriz da superfície cilíndrica a curva definida por
4x^2 + z^2 + 4z = 0, y = 0
e informa que as geratrizes são retas paralelas ao vetor V = (4,1,0).
Para montar a equação implícita da superfície, vamos usar que cada ponto (x,y,z) do cilindro pertence a uma reta paralela a V que cruza um ponto (x0,0,z0) da diretriz.

Passo 2

Parametrizamos a geratriz que parte de (x0,0,z0) por
(x,y,z) ;=; (x0,0,z0) + t,(4,1,0) ;=;(x0 + 4t,; t,; z0)
Aqui t é o parâmetro ao longo da geratriz, e x0,z0 satisfazem a equação da diretriz
4x0^2 + z0^2 + 4z0 = 0

Passo 3

Como y = t, temos
t = y, x0 = x - 4y, z0 = z
Basta então substituir (x0,z0) = (,x - 4y,,,z,) na equação da diretriz para obter a condição que caracteriza todos os pontos (x,y,z) do cilindro:

Passo 4

Substituindo, vem
4l(x - 4yr)^2 + z^2 + 4z = 0
Essa é a equação implícita da superfície cilíndrica procurada.

Resposta

4(x - 4y)^2 + z^2 + 4z = 0

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