Dadas as equações da curva diretriz determine a equação da superfície cônica que tem vértice na origem O=(0,0,0).
x^2+y^2=4 e z=2

Passo 1

O enunciado dá a curva diretriz como a interseção
x^2+y^2=4, z=2,
e pede a superfície cônica com vértice em O=(0,0,0). Para isso, usamos que uma superfície cônica de vértice na origem é a união dos segmentos que ligam O a cada ponto da diretriz, e então eliminamos parâmetros para achar sua equação cartesiana.

Passo 2

Escolhemos um ponto genérico da diretriz
(x0,y0,z0) com x0^2+y0^2=4,;z0=2
Podemos parametrizar esse ponto por um parâmetro t qualquer:
x0=2cos t, y0=2sin t, z0=2

Passo 3

O gerador da cônica que parte de O e vai até (x0,y0,z0) é
(x,y,z)=(lambda x0,,lambda y0,,lambda z0), lambdainR

Passo 4

Pela componente z temos
z=lambdacdot 2 Longrightarrow lambda=z2
Substituindo em x e y:
x=z2,2cos t = zcos t, y=z2,2sin t = zsin t
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x^2+y^2=z^2(cos^2t+sin^2t)=z^2

Resposta

x^2+y^2=z^2

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