Dadas as expressões modulares abaixo, expresse-as em sentenças distintas, válidas em intervalos distintos.
E1(x)=|2 x+1|+|x-1|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a expressão E1(x) = |2x + 1| + |x - 1| e pede para expressá-la em sentenças distintas, válidas em intervalos diferentes. Isso significa que precisamos reescrever essa expressão sem os valores absolutos, mas fazendo isso corretamente em cada intervalo onde as expressões dentro dos módulos mudam de sinal. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam os valores absolutos e identificar os pontos onde as expressões dentro deles são iguais a zero, pois esses pontos dividem os intervalos onde cada parte da expressão muda de comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal. Temos duas expressões:
  1. 2x + 1
  2. x - 1
Vamos encontrar os valores de x que fazem cada expressão igual a zero.
Para 2x + 1 = 0 :
2x + 1 = 0
2x = -1
x = -12
Para x - 1 = 0 :
x - 1 = 0
x = 1
Então, os pontos críticos são x = -12 e x = 1 . Esses pontos dividem a reta real em três intervalos:
  1. x < -12
  2. -12 <= x < 1
  3. x >= 1

Passo 3

Agora, vamos analisar cada intervalo separadamente e remover os valores absolutos de acordo com o sinal das expressões dentro deles.
Intervalo 1: x < -12
Nesse intervalo, 2x + 1 < 0 e x - 1 < 0 . Portanto:
|2x + 1| = -(2x + 1) = -2x - 1
|x - 1| = -(x - 1) = -x + 1
Então, a expressão fica:
E1(x) = (-2x - 1) + (-x + 1)
E1(x) = -3x
Intervalo 2: -12 <= x < 1
Nesse intervalo, 2x + 1 >= 0 (porque x >= -12 ) e x - 1 < 0 . Portanto:
|2x + 1| = 2x + 1
|x - 1| = -(x - 1) = -x + 1
Então, a expressão fica:
E1(x) = (2x + 1) + (-x + 1)
E1(x) = x + 2
Intervalo 3: x >= 1
Nesse intervalo, 2x + 1 >= 0 e x - 1 >= 0 . Portanto:
|2x + 1| = 2x + 1
|x - 1| = x - 1
Então, a expressão fica:
E1(x) = (2x + 1) + (x - 1)
E1(x) = 3x

Resposta

Para a expressão E1(x) = |2x + 1| + |x - 1| , temos:
  • Para x < -12 :
E1(x) = -3x
  • Para -12 <= x < 1 :
E1(x) = x + 2
  • Para x >= 1 :
E1(x) = 3x

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