Dadas as expressões modulares abaixo, expresse-as em sentenças distintas, válidas em intervalos distintos.
E3(x)=|x+1|-|x-1|

Passo 1

O enunciado pede para escrever a função
E3(x)=|x+1|-|x-1|
como uma expressão em partes (piecewise), ou seja, em sentenças válidas em cada intervalo onde os módulos mudam de comportamento. Aqui usamos o conceito de módulo: para cada expressão u,
|u| = u, & se u>=0, -u, & se u<0

Passo 2

Identificamos os pontos em que os argumentos dos módulos se anulam, pois neles a expressão dentro de cada módulo troca de sinal. Essas raízes são
x+1=0implies x=-1 e x-1=0implies x=1.
Logo, estudamos três intervalos: x< -1, -1<= x<1 e x>=1.

Passo 3

No intervalo x< -1 temos
x+1<0 e x-1<0.
Então
|x+1|=-(x+1), |x-1|=-(x-1),
e assim
E3(x)=-(x+1)-l[-(x-1)r]= -x-1 +x -1 = -2

Passo 4

No intervalo -1<= x<1 temos
x+1>=0 e x-1<0.
Logo
|x+1|=x+1, |x-1|=-(x-1),
e
E3(x)=(x+1)-l[-(x-1)r]=x+1 +x -1 = 2x

Passo 5

No intervalo x>=1 ambos são não negativos:
x+1>=0 e x-1>=0.
Então
|x+1|=x+1, |x-1|=x-1,
e
E3(x)=(x+1)-(x-1)=2

Resposta

E3(x)= -2, & x< -1, 2x, & -1<= x<1, 2, & x>=1

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