Dadas as expressões modulares abaixo, expresse-as em sentenças distintas, válidas em intervalos distintos.
E2(x)=||x|-2|

Passo 1

Temos a função
E2(x)=l|;|x|-2;r|
e queremos escrevê-la como definições separadas (funções lineares sem valor absoluto) em cada intervalo onde as expressões internas mudam de sinal. As quebras ocorrem quando x=0 (pois muda o sinal de x) e quando |x|-2=0, isto é, |x|=2, ou seja, em x=2 e x=-2.

Passo 2

Dividimos a reta real em quatro intervalos conforme as quebras:
(-infty,-2], (-2,0], (0,2], [2,infty)
Em cada um deles determinamos o sinal de x para avaliar |x| e o sinal de |x|-2 para remover a segunda barra.

Passo 3

Para x>=2:
– aqui x>=0, logo |x|=x.
– e |x|-2 = x-2>=0.
Então
E2(x)=|,|x|-2,| = |,x-2,| = x-2

Passo 4

Para 0<= x<2:
– ainda x>=0, então |x|=x.
– mas x-2<0, logo |,x-2,|=2-x.
Assim
E2(x)=2 - x

Passo 5

Para -2< x<0:
– agora x<0, logo |x|=-x.
– como |x|<2, temos |x|-2<0 e
E2(x)= -l(|x|-2r)=2-|x|=2-(-x)=2+x

Passo 6

Para x<= -2:
x<0 implica |x|=-x.
– e |x|-2 = -x-2>=0.
Logo
E2(x)=|,|x|-2,| = |-x-2| = -x-2

Resposta

E2(x)= -x - 2, & x <= -2, 2 + x, & -2 < x < 0, 2 - x, & 0 <= x < 2, x - 2, & x >= 2

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