Dadas as expressões modulares abaixo, expresse-as em sentenças distintas, válidas em intervalos distintos.
E4(x)=||x^2-1|-3|

Passo 1

O enunciado pede para escrever
E4(x)=l|;|x^2-1|-3r|
sem valor absoluto, em sentenças distintas válidas em intervalos diferentes de x. Para isso vamos analisar em duas etapas: primeiro o sinal de |x^2-1|-3 e depois o sinal de x^2-1.

Passo 2

Defina
A(x)=|x^2-1|-3,
então E4(x)=|A(x)|. Para saber onde A(x) muda de sinal, resolvemos
|x^2-1|-3>=0 Long<=ftrightarrow |x^2-1|>=3
Como |x^2-1|>=3 equivale a x^2>=4, temos A(x)>=0 exatamente quando |x|>=2, e A(x)<0 quando |x|<2.

Passo 3

Caso |x|>=2, temos A(x)>=0 e portanto
E4(x)=A(x)=|x^2-1|-3
Além disso, se |x|>=2 então x^2>=4>1, logo x^2-1>=0 e
|x^2-1|=x^2-1 Longrightarrow E4(x)=(x^2-1)-3=x^2-4

Passo 4

Caso |x|<2, temos A(x)<0 e
E4(x)=|A(x)|=-A(x)=3-|x^2-1|
Dentro de |x|<2 distinguimos dois subcasos para remover |x^2-1|:
  1. Se |x|<1 então x^2-1<0 e |x^2-1|=1-x^2.
    Logo
    E4(x)=3-(1-x^2)=2+x^2
  2. Se 1<=|x|<2 então x^2-1>=0 e |x^2-1|=x^2-1.
    Logo
    E4(x)=3-(x^2-1)=4-x^2

Resposta

Para |x|<1, E4(x)=2+x^2
Para 1<=|x|<2, E4(x)=4-x^2
Para |x|>=2, E4(x)=x^2-4

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