Dadas f(x)=(x+1) / x e g(x)=x /(x+1), determine:
(d) g(f(0))

Passo 1

O enunciado fornece as funções
f(x)=\frac{x+1}{x}
e
g(x)=\frac{x}{x+1},
e pede que se determine g(f(0)).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • f(x)=\dfrac{x+1}{x}.
  • g(x)=\dfrac{x}{x+1}.
  • A tarefa é calcular a composição g(f(0)), isto é, aplicar f em 0 e em seguida aplicar g no resultado.

Passo 2

Explicação do que significa calcular g(f(0)).
  • A composição g\circ f é definida por (g\circ f)(x)=g(f(x)).
  • Para calcular g(f(0)) primeiro é necessário calcular f(0). Se f(0) não estiver definido, então g(f(0)) também não estará definido (não há valor de entrada para g).
  • Antes de substituir, é importante verificar as restrições de domínio de cada função: toda expressão na forma \dfrac{\text{algo}}{\text{algo}} exige que o denominador seja diferente de zero.

Passo 3

Analisando o domínio de f e g.
  • Para f(x)=\dfrac{x+1}{x} o denominador é x. Logo f(x) não está definida quando x=0. Assim o domínio de f é todos os x tais que x\neq0.
  • Para g(x)=\dfrac{x}{x+1} o denominador é x+1. Logo g(x) não está definida quando x=-1. Assim o domínio de g é todos os x tais que x\neq-1.

Passo 4

Tentativa direta de calcular f(0).
  • Substituindo x=0 em f:
f(0)=\frac{0+1}{0}=\frac{1}{0}.
  • A expressão \dfrac{1}{0} é indefinida (divisão por zero não faz sentido no campo dos números reais). Portanto f(0) não está definido.

Passo 5

Conclusão sobre g(f(0)).
  • Como f(0) não está definido, não existe um valor a ser usado como entrada de g. Por isso g(f(0)) também não está definido.
  • Observação didática importante: se calcularmos simbolicamente a composição para x\neq0,
g(f(x))=\frac{f(x)}{f(x)+1}=\frac{\dfrac{x+1}{x}}{\dfrac{x+1}{x}+1}
=\frac{\dfrac{x+1}{x}}{\dfrac{x+1+x}{x}}=\frac{x+1}{2x+1}\quad\text{(válido somente para \(x\neq0\))},á
essa expressão simplificada sugere um valor em x=0 igual a 1, mas essa simplificação cancelou fatores dependendo de x e só é válida quando x\neq0. A existência de uma expressão simplificada com valor em 0 não cria definição em x=0 quando a expressão original envolve divisão por zero em f(0). Portanto a conclusão anterior permanece: g(f(0)) é indefinido.

Resposta

g(f(0)) não está definida (indefinido), pois f(0) não está definida.

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