(valor 3,0) Calcule as integrais
integral cos ^5(x) sen^2(x) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral cos^5(x),sen^2(x),dx
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas usando a técnica de substituição e identidades como cos^2(x)=1-sen^2(x).

Passo 2

Para aplicar a substituição, note que podemos separar um fator cos(x),dx e escrever o resto em função de sen(x). Assim:
cos^5(x),sen^2(x),dx =cos^4(x),sen^2(x),cos(x),dx
e usando
cos^4(x)=l(cos^2(x)r)^2=l(1-sen^2(x)r)^2

Passo 3

Agora fazemos a substituição
u=sen(x), du=cos(x),dx
A integral vira
integral cos^5(x),sen^2(x),dx =integral l(1-u^2r)^2,u^2,du

Passo 4

Expandindo o polinômio dentro da integral:
l(1-u^2r)^2,u^2 =u^2-2u^4+u^6
Logo,
integral l(u^2-2u^4+u^6r),du =integral u^2,du ;-;2integral u^4,du ;+;integral u^6,du =u^33-2u^55+u^77+C

Passo 5

Voltando à variável x (lembre que u=sen(x)):
u^33-2u^55+u^77+C =sen^3(x)3-2,sen^5(x)5+sen^7(x)7+C

Resposta

integral cos^5(x),sen^2(x),dx =sen^3(x)3-2,sen^5(x)5+sen^7(x)7+C

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