Dadas as funções:
f(x)=\operatorname{sen}(x)+\frac{1}{2} \cdot \operatorname{cotg}(x), g(x)=\frac{\operatorname{sec} (x)}{1+\operatorname{sec} (x)} e h(x)=x e^{x} \cdot \operatorname{cossec}(x).
Analise as afirmativas seguintes.
I. f^{\prime}(x)=\cos (x)-\frac{1}{2} \cdot \operatorname{cossec}^{2}(x)
II. g^{\prime}(x)=\frac{\operatorname{sec} (x) \operatorname{tg}(x)}{(1+\operatorname{sec} (x))^{2}}
III. h^{\prime}(x)=e^{x} \cdot \operatorname{cossec}(x)(-x \cdot \operatorname{cotg}(x)+x+1)
É correto o que se afirma em:

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=\sin(x)+\tfrac12\cot(x), \quad g(x)=\frac{\operatorname{sec}(x)}{1+\operatorname{sec}(x)}, \quad h(x)=x e^{x}\,\csc(x)
e pede para verificar se as derivadas listadas estão corretas. Vamos usar regra da soma, regra do quociente e regra do produto, além das derivadas elementares
\tfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x),
\tfrac{d}{dx}\cot(x)=-\csc^2(x),
\tfrac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\operatorname{sec}(x)\tan(x),
\tfrac{d}{dx}\bigl(e^x\bigr)=e^x,
\tfrac{d}{dx}\csc(x)=-\csc(x)\cot(x).

Passo 2

Para f(x)=\sin(x)+\tfrac12\cot(x), aplica-se a soma:
f'(x)=\frac{d}{dx}\sin(x)+\frac12\frac{d}{dx}\cot(x) =\cos(x)+\frac12\bigl(-\csc^2(x)\bigr) =\cos(x)-\tfrac12\,\csc^2(x).
I está correta.

Passo 3

Para g(x)=\dfrac{\operatorname{sec}(x)}{1+\operatorname{sec}(x)}, usa-se a regra do quociente:
g'(x) =\frac{\operatorname{sec}(x)\tan(x)\,(1+\operatorname{sec}(x))-\operatorname{sec}(x)\,\operatorname{sec}(x)\tan(x)}{(1+\operatorname{sec}(x))^2} =\frac{\operatorname{sec}(x)\tan(x)\bigl(1+\operatorname{sec}(x)-\operatorname{sec}(x)\bigr)}{(1+\operatorname{sec}(x))^2} =\frac{\operatorname{sec}(x)\tan(x)}{(1+\operatorname{sec}(x))^2}.
II está correta.

Passo 4

Para h(x)=x e^x\csc(x), considere u(x)=x e^x e v(x)=\csc(x). Então
u'(x)=e^x+x e^x=e^x(1+x), \quad v'(x)=-\csc(x)\cot(x).
Pela regra do produto:
h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) =e^x(1+x)\csc(x)+x e^x\bigl(-\csc(x)\cot(x)\bigr) =e^x\csc(x)\bigl(1+x-x\cot(x)\bigr),
isto é,
h'(x)=e^x\csc(x)\bigl(-x\cot(x)+x+1\bigr).
III está correta.

Resposta

I, II e III são corretas.

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