f(x)=(3 x-2)^{20}, g(x)=\frac{1}{5-3 x} \text { e } h(x)=\operatorname{sen} \pi x .
Analise as afirmativas seguintes.
I. \int(3 x-2)^{20} d x=\frac{1}{63}(3 x-2)^{21}+C
II. \int \frac{d x}{5-3 x}=-\frac{1}{3} \ln |5-3 x|+C
III. \int \operatorname{sen} \pi x d x=-\frac{1}{\pi} \cos \pi x+C
e pede para verificar se as afirmações sobre as integrais indefinidas
I. \displaystyle \int(3x-2)^{20}\,dx = \frac{1}{63}(3x-2)^{21} + C
II. \displaystyle \int \frac{dx}{5-3x} = -\frac{1}{3}\ln\bigl|5-3x\bigr| + C
III. \displaystyle \int \operatorname{sen}(\pi x)\,dx = -\frac{1}{\pi}\cos(\pi x) + C
estão corretas. Para resolver, usaremos o método de substituição simples em cada caso.
Passo 2
Calcular \displaystyle \int(3x-2)^{20}\,dx por substituição. Seja
u = 3x - 2,\quad du = 3\,dx\quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.
Substituindo em \int u^{20}\,\frac{du}{3} dá
\frac{1}{3}\int u^{20}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{21}}{21} + C = \frac{u^{21}}{63} + C = \frac{(3x-2)^{21}}{63} + C.
Logo, a afirmativa I está correta.
Passo 3
Calcular \displaystyle \int \frac{dx}{5-3x} usando substituição. Seja
u = 5 - 3x,\quad du = -3\,dx\quad\Longrightarrow\quad dx = -\frac{du}{3}.
Assim
\int \frac{dx}{u} = \int \frac{-1}{3}\,\frac{du}{u} = -\frac{1}{3}\ln\bigl|u\bigr| + C = -\frac{1}{3}\ln\bigl|5-3x\bigr| + C.
Portanto, a afirmativa II está correta.
Passo 4
Calcular \displaystyle \int \operatorname{sen}(\pi x)\,dx por substituição. Seja
u = \pi x,\quad du = \pi\,dx\quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{\pi}.
Então
\int \operatorname{sen}(u)\,\frac{du}{\pi} = \frac{1}{\pi}\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\frac{1}{\pi}\cos(u) + C = -\frac{1}{\pi}\cos(\pi x) + C.
Logo, a afirmativa III também está correta.
Passo 5
Como todas as três integrais conferem com as afirmações dadas, concluímos que I, II e III estão corretas.