Por que os núcleos tendem a ter mais nêutrons que prótons para números de massa elevados?

Passo 1

O enunciado pergunta por que, conforme aumentamos o número de massa A, os núcleos estáveis passam a ter mais nêutrons ( N) que prótons ( Z). O conteúdo principal para explicar isso é a Fórmula de Gota Líquida (massa semiempírica), que combina termos de volume, superfície, Coulomb e de assimetria. Vamos usar essa fórmula para ver como se obtém o valor ótimo de Z em função de A.

Passo 2

Na Fórmula de Gota Líquida, a energia de ligação aproximada B(A,Z) é
B(A,Z)=a_V A - a_S A^{2/3} - a_C \frac{Z^2}{A^{1/3}} - a_A \frac{(A-2Z)^2}{A} + \text{(paridade)}.
Aqui o termo -a_C Z^2/A^{1/3} representa a repulsão Coulomb entre prótons e o termo -a_A(A-2Z)^2/A penaliza o desbalanceamento entre N e Z.

Passo 3

Para encontrar o valor de Z que maximiza B (ou minimiza a massa nuclear), fazemos
\frac{\partial B}{\partial Z}=0.
Ignorando o termo de paridade, temos
\frac{\partial}{\partial Z}\Bigl(-a_C\frac{Z^2}{A^{1/3}}-a_A\frac{(A-2Z)^2}{A}\Bigr)=0 \;\;\Longrightarrow\;\; -2\,a_C\frac{Z}{A^{1/3}} + 4\,a_A\frac{(A-2Z)}{A}=0.

Passo 4

Resolvendo para Z, obtemos
2\,a_C\frac{Z}{A^{1/3}} = 4\,a_A\frac{A-2Z}{A} \quad\Longrightarrow\quad Z \approx \frac{A}{2}\,\frac{1}{1+\displaystyle\frac{a_C}{4\,a_A}A^{2/3}}.
Para núcleos leves ( A pequeno) o fator \frac{a_C}{4a_A}A^{2/3} é pequeno, então Z\approx A/2. Mas conforme A cresce, esse fator cresce e Z/A fica menor que 1/2, ou seja, N=A-Z fica maior que Z.

Resposta

Porque, à medida que o núcleo cresce, a repulsão Coulomb entre prótons (termo -a_C Z^2/A^{1/3}) fica mais forte e, para maximizar a energia de ligação, é preciso um excesso de nêutrons que mitigue tanto a repulsão elétrica quanto o custo de assimetria. Isso leva a uma razão Z/A<1/2 em núcleos pesados, ou seja, N>Z.

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