Dadas as funções:
f(x)=x^{2} \ln x, g(x)=x \cos 5 x \text { e } h(x)=\left(x^{2}+2 x\right) \cos x .
Analise as afirmativas seguintes.
I. \int x^{2} \ln x d x=\frac{1}{3} x^{3} \ln x+C
II. \int x \cos 5 x d x=\frac{1}{5} x \operatorname{sen} 5 x+\frac{1}{25} \cos 5 x+C
III. \int\left(x^{2}+2 x\right) \cos x d x=\left(x^{2}+2 x\right) \operatorname{sen} x+C
É correto o que se afirma em:

Passo 1

O enunciado dá três integrais indefinidas e nos pede para verificar se as fórmulas apresentadas estão corretas. O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois em todas as três integrais temos produto de funções (polinomial \times logaritmo, polinomial \times trigonométrica, polinomial \times trigonométrica).

Passo 2

Verificamos a afirmação I:
\int x^{2}\ln x\,dx.
Usamos partes com
u=\ln x,\quad dv=x^{2}dx\;\Longrightarrow\;du=\frac{1}{x}dx,\quad v=\frac{x^{3}}{3}.
Logo
\int x^{2}\ln x\,dx =\frac{x^{3}}{3}\ln x-\int\frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}dx =\frac{x^{3}}{3}\ln x-\frac{1}{3}\int x^{2}dx =\frac{x^{3}}{3}\ln x-\frac{x^{3}}{9}+C.
A proposta \frac{1}{3}x^{3}\ln x+C omite o termo -\tfrac{x^{3}}{9}. Portanto, I é falsa.

Passo 3

Verificamos a afirmação II:
\int x\cos5x\,dx.
Usamos partes com
u=x,\quad dv=\cos5x\,dx\;\Longrightarrow\;du=dx,\quad v=\int\cos5x\,dx=\frac{\sin5x}{5}.
Então
\int x\cos5x\,dx =\frac{x\sin5x}{5}-\int\frac{\sin5x}{5}dx =\frac{x\sin5x}{5}-\frac{1}{5}\Bigl(-\frac{\cos5x}{5}\Bigr)+C =\frac{x\sin5x}{5}+\frac{\cos5x}{25}+C.
Isso coincide exatamente com a afirmação II, logo II é verdadeira.

Passo 4

Verificamos a afirmação III:
\int\bigl(x^{2}+2x\bigr)\cos x\,dx.
Usamos partes com
u=x^{2}+2x,\quad dv=\cos x\,dx\;\Longrightarrow\;du=(2x+2)dx,\quad v=\sin x.
Assim
\int(x^{2}+2x)\cos x\,dx =(x^{2}+2x)\sin x-\int(2x+2)\sin x\,dx.
Para \displaystyle\int(2x+2)\sin x\,dx fazemos novamente partes em cada termo. O resultado final é
(x^{2}+2x)\sin x+2x\cos x-2\sin x+2\cos x+C,
que não se reduz a (x^{2}+2x)\sin x+C. Portanto, III é falsa.

Passo 5

Comparando, apenas a afirmação II está correta.

Resposta

Apenas a II.

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