2-Dadas as funções f(x)=2+x^2, g(x)=1-x e h(x)=raiz3-x. Escreva a função R(x) na forma mais simples e defina o domínio de R(x). Sendo
a) R(x)=ln alpha<[f(x) cdot g(x)^-12]-[h(x)]^-1
b) Escreva a função inversa de f(x), de modo que ela exista.

Passo 1

O enunciado fornece
f(x)=2+x^2, g(x)=1-x, h(x)=raiz3-x
e pede a função
R(x)=lnl[f(x),g(x)^-tfrac12-l(h(x)r)^-1r]
na forma mais simples, além do domínio de R. Em seguida, pede a inversa de f, após restringir seu domínio para que seja bijetora.

Passo 2

Primeiro escrevemos cada termo sem expoentes negativos:
f(x),g(x)^-tfrac12 =2+x^2raiz,1-x,, l(h(x)r)^-1 =1raiz,3-x,

Passo 3

Colocamos as duas parcelas sobre um denominador comum raiz1-x,raiz3-x:
f(x),g(x)^-tfrac12-l(h(x)r)^-1 =2+x^2raiz1-x-1raiz3-x =(2+x^2),raiz3-x-raiz1-xraiz1-x,raiz3-x
Logo
R(x) =ln!gl( (2+x^2),raiz3-x-raiz1-xraiz(1-x)(3-x) gr)

Passo 4

Analisamos o domínio de R:
  1. g(x)=1-x aparece em raiz1-x no denominador, logo 1-x>0implies x<1.
  2. h(x)=raiz3-x aparece em raiz3-x e em 1/raiz3-x, precisa de 3-x>0implies x<3.
  3. Para x<1 já vale x<3, então basta x<1.
  4. Finalmente, o argumento do ln deve ser positivo. Para x<1, ambos raiz1-x e raiz3-x são positivos e observa-se que
(2+x^2),raiz3-xraiz1-x >raiz1-xraiz1-x =1;>;1raiz3-x,
de modo que a diferença é sempre positiva.
Portanto o domínio de R é
boxed(-infty,1)

Passo 5

Resumo final da parte (a):

Passo 6

Para obter f^-1 devemos restringir f(x)=2+x^2 a um domínio em que seja injetora. Se escolhemos
fcolon[0,infty)to[2,infty),
então é bijetora e, para y=f(x), temos
y=2+x^2Longrightarrow x=raizy-2

Passo 7

Assim, a inversa de f (no domínio [0,infty)) é
boxed,f^-1(x)=raizx-2, x>=2

Resposta

(a)
(b)

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