2-Dadas as funções
e
. Escreva a função
na forma mais simples e defina o domínio de
. Sendo
a)
b) Escreva a função inversa de
, de modo que ela exista.
a)
b) Escreva a função inversa de
Passo 1
O enunciado fornece
e pede a função
na forma mais simples, além do domínio de
. Em seguida, pede a inversa de
, após restringir seu domínio para que seja bijetora.
Passo 2
Primeiro escrevemos cada termo sem expoentes negativos:
Passo 3
Colocamos as duas parcelas sobre um denominador comum
:
Logo
Passo 4
Analisamos o domínio de
:
-
aparece em no denominador, logo . -
aparece em e em , precisa de . - Para
já vale , então basta . - Finalmente, o argumento do
deve ser positivo. Para , ambos e são positivos e observa-se que
de modo que a diferença é sempre positiva.
Portanto o domínio de
é
Passo 5
Resumo final da parte (a):
Passo 6
Para obter
devemos restringir
a um domínio em que seja injetora. Se escolhemos
então é bijetora e, para
, temos
Passo 7
Assim, a inversa de
(no domínio
) é
Resposta
(a)
(b)