Levando em consideração que a taxa de crescimento de fato depende da população em questão, da equação (1) não deve ser apenas constante, mas deve depender de . Logo, obtemos a seguinte equação
Neste caso, buscamos uma função tal que seja aproximadamente quando é pequeno; diminua quando aumenta e seja menor que zero quando é suficientemente grande. Uma função do tipo é da forma , onde . Assim, a equação em (2) torna-se
Tal equação é conhecida como equação logística. Essa, por vezes, é conveniente que seja escrita da forma
onde .
a) Descreva as soluções de equilíbrio de (4).
b) Resolva, para o caso e a EDO em (4).
c) Esboce o campo de direções de (3), bem como as curvas integrais de (4) no Geogebra.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação logística
onde e . O conteúdo é EDO autônoma e separável. Vamos (a) achar os pontos de equilíbrio, (b) resolver por separação de variáveis e (c) esboçar o campo de direções e as curvas integrais.
Passo 2
Para encontrar as soluções de equilíbrio, basta impor
Seja y(0)=y0; então tfracy0K-y0=A e a solução geral é
y(t) =K1+l(Ky0-1r)e^-rt
Passo 5
O campo de direções da EDO original
d yd t=(r-a,y),y
é autônomo, logo somente depende de y. As inclinações são:
Para y<0, (r-ay)y<0 ⇒ desce.
Para 0<y<K, (r-ay)y>0 ⇒ sobe.
Em y=0 e y=K, a inclinação é zero (linhas horizontais).
Para y>K, (r-ay)y<0 ⇒ desce.
No GeoGebra use o comando SlopeField para esboçar flechas em vários pares (t,y) e SolutionCurve para curvas integrais. Verifica-se que, para condições iniciais 0<y0<K, as curvas crescem de forma sigmoidal e tendem a K; para y0>K decrescem também assintoticamente a K.
Resposta
a) Equilíbrios: yequiv0 e yequiv K.
b) Para y0neq0,K,
y(t) =K1+l(Ky0-1r)e^-rt
c) O campo de direções tem inclinação zero em y=0 e y=K, positiva para 0<y<K e negativa fora. As curvas integrais em GeoGebra mostram comportamento sigmoidal que se aproxima de K.