Levando em consideração que a taxa de crescimento de fato depende da população em questão, r da equação (1) não deve ser apenas constante, mas deve depender de y. Logo, obtemos a seguinte equação
d yd t=h(y) y
Neste caso, buscamos uma função h(y) tal que h(y) seja aproximadamente r quando y é pequeno; h(y) diminua quando y aumenta e h(y) seja menor que zero quando y é suficientemente grande. Uma função do tipo é da forma h(y)=r-a y, onde a>0. Assim, a equação em (2) torna-se
d yd t=(r-a y) y
Tal equação é conhecida como equação logística. Essa, por vezes, é conveniente que seja escrita da forma
d yd t=r(1-yK) y,
onde K=ra.
a) Descreva as soluções de equilíbrio de (4).
b) Resolva, para o caso y neq 0 e y neq K a EDO em (4).
c) Esboce o campo de direções de (3), bem como as curvas integrais de (4) no Geogebra.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação logística
d yd t=rl(1-yKr)y
onde r>0 e K=tfracra>0. O conteúdo é EDO autônoma e separável. Vamos (a) achar os pontos de equilíbrio, (b) resolver por separação de variáveis e (c) esboçar o campo de direções e as curvas integrais.

Passo 2

Para encontrar as soluções de equilíbrio, basta impor
d yd t=0
ou seja
rl(1-yKr)y=0
Isso ocorre se, e somente se,
y=0 ou 1-yK=0;Longrightarrow;y=K
Logo, as soluções de equilíbrio são y(t)equiv 0 e y(t)equiv K.

Passo 3

Para yneq0 e yneq K resolvemos por separação de variáveis:
1yl(1-yKr),dy = r,dt
Fazendo frações parciais observa-se que
1yl(1-yKr) =1y+1K-y
Integramos ambos os lados:
integrall(1y+1K-yr),dy =integral r,dt ;Longrightarrow; lnl|yr|-lnl|K-yr| =rt+C
Ou seja
lnl|yK-yr|=rt+C

Passo 4

Exponentiando, definindo A=e^C, obtém-se
yK-y=A,e^rt Longrightarrow y(t)=A,K,e^rt1+A,e^rt =K1+A^-1e^-rt
Seja y(0)=y0; então tfracy0K-y0=A e a solução geral é
y(t) =K1+l(Ky0-1r)e^-rt

Passo 5

O campo de direções da EDO original
d yd t=(r-a,y),y
é autônomo, logo somente depende de y. As inclinações são:
  • Para y<0, (r-ay)y<0 ⇒ desce.
  • Para 0<y<K, (r-ay)y>0 ⇒ sobe.
  • Em y=0 e y=K, a inclinação é zero (linhas horizontais).
  • Para y>K, (r-ay)y<0 ⇒ desce.
No GeoGebra use o comando SlopeField para esboçar flechas em vários pares (t,y) e SolutionCurve para curvas integrais. Verifica-se que, para condições iniciais 0<y0<K, as curvas crescem de forma sigmoidal e tendem a K; para y0>K decrescem também assintoticamente a K.

Resposta

a) Equilíbrios: yequiv0 e yequiv K.
b) Para y0neq0,K,
y(t) =K1+l(Ky0-1r)e^-rt
c) O campo de direções tem inclinação zero em y=0 e y=K, positiva para 0<y<K e negativa fora. As curvas integrais em GeoGebra mostram comportamento sigmoidal que se aproxima de K.

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