1. Se a derivada de uma função for nula em todos os intervalos de um intervalo ( a, b ), o que isso diz sobre a função?

Passo 1

O enunciado afirma que existe uma função f diferenciável em (a,b) e que
f'(x)=0\quad\forall\,x\in(a,b).
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Lagrange (ou Teorema do Valor Médio), que relaciona derivadas a diferenças de valores da função.

Passo 2

Escolha quaisquer x_1,x_2\in(a,b) com x_1<x_2. Pelo Teorema de Lagrange, existe um ponto c em (x_1,x_2) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.
Como f'\text{(c)}=0 por hipótese, segue-se que
\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=0 \quad\Longrightarrow\quad f(x_2)-f(x_1)=0 \quad\Longrightarrow\quad f(x_2)=f(x_1).

Passo 3

O resultado f(x_2)=f(x_1) vale para quaisquer x_1,x_2 em (a,b). Isso significa que não há variação de f no intervalo: f é constante em (a,b).

Resposta

A função f é constante em (a,b).

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