- Se a derivada de uma função for nula em todos os intervalos de um intervalo (
), o que isso diz sobre a função?
Passo 1
O enunciado afirma que existe uma função
diferenciável em
e que
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Lagrange (ou Teorema do Valor Médio), que relaciona derivadas a diferenças de valores da função.
Passo 2
Escolha quaisquer
com
. Pelo Teorema de Lagrange, existe um ponto
em
tal que
Como
por hipótese, segue-se que
Passo 3
O resultado
vale para quaisquer
em
. Isso significa que não há variação de
no intervalo:
é constante em
.
Resposta
A função
é constante em
.