1. Explique sobre o teste para verificar se a função é crescente ou decrescente em um intervalo.

Passo 1

O enunciado quer que a gente saiba identificar quando uma função é crescente ou decrescente num intervalo usando o teste baseado na derivada. O conteúdo principal é o Teste de Monotonicidade e vamos precisar do fato de que, se uma função f é derivável em um intervalo I, o sinal de f'(x) em I determina se f sobe ou desce.

Passo 2

Para ver por que o sinal de f' diz se a função é crescente, usamos o Teorema de Valor Médio. Dados dois pontos x<y em I, o Teorema de Valor Médio garante a existência de algum c\in(x,y) tal que
f(y)-f(x)=f'\text{(c)}\,(y-x).
Se f'(x)\ge0 para todo x\in I, então f'\text{(c)}\ge0 e, como y-x>0, obtemos
f(y)-f(x)\ge0,
ou seja, f(y)\ge f(x). Assim:
\bullet Se f'(x)\ge0 em I, então f é não decrescente (ou seja, crescente em sentido amplo) em I.
\bullet Se f'(x)>0 em I, então f é estritamente crescente em I.

Passo 3

De modo análogo, para funções decrescentes, também usamos o Teorema de Valor Médio:
\bullet Se f'(x)\le0 para todo x\in I, então para quaisquer x<y em I vale
f(y)-f(x)=f'\text{(c)}\,(y-x)\le0,
logo f(y)\le f(x) e f é não crescente (ou decrescente em sentido amplo) em I.
\bullet Se f'(x)<0 em I, então f é estritamente decrescente em I.

Passo 4

Em resumo, o teste para monotonicidade de f em um intervalo I é:
  • Calcular f'(x).
  • Verificar o sinal de f'(x) em todo I.
Não esqueça das hipóteses: f deve ser contínua em I e derivável em seu interior. Se houver pontos onde f' muda de sinal ou não existir, é preciso analisar casos separados nesses pontos.

Resposta

Seja f derivável em I. Então:
(a) f'(x)>0 em I \Rightarrow f é estritamente crescente em I.
(b) f'(x)\ge0 em I \Rightarrow f é crescente (não decrescente) em I.
(c) f'(x)<0 em I \Rightarrow f é estritamente decrescente em I.
(d) f'(x)\le0 em I \Rightarrow f é decrescente (não crescente) em I.

Exercícios relacionados