- Explique sobre o teste para verificar se a função é crescente ou decrescente em um intervalo.
Passo 1
O enunciado quer que a gente saiba identificar quando uma função é crescente ou decrescente num intervalo usando o teste baseado na derivada. O conteúdo principal é o Teste de Monotonicidade e vamos precisar do fato de que, se uma função
é derivável em um intervalo
, o sinal de
em
determina se
sobe ou desce.
Passo 2
Para ver por que o sinal de
diz se a função é crescente, usamos o Teorema de Valor Médio. Dados dois pontos
em
, o Teorema de Valor Médio garante a existência de algum
tal que
Se
para todo
, então
e, como
, obtemos
ou seja,
. Assim:
Passo 3
De modo análogo, para funções decrescentes, também usamos o Teorema de Valor Médio:
logo
e
é não crescente (ou decrescente em sentido amplo) em
.
Se
em
, então
é estritamente decrescente em
.
Passo 4
Em resumo, o teste para monotonicidade de
em um intervalo
é:
- Calcular
. - Verificar o sinal de
em todo .
Não esqueça das hipóteses:
deve ser contínua em
e derivável em seu interior. Se houver pontos onde
muda de sinal ou não existir, é preciso analisar casos separados nesses pontos.
Resposta
Seja
derivável em
. Então:
(a)
em
é estritamente crescente em
.
(b) em
é crescente (não decrescente) em
.
(c) em
é estritamente decrescente em
.
(d) em
é decrescente (não crescente) em
.
(b)
(c)
(d)