Prove as seguintes desigualdades:
x-x^33!, para x>0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo x>0, vale x-tfracx^33!. O conteúdo principal aqui é a expansão em série de Taylor (Maclaurin) de sin x e o teorema da série alternada (erro alternado). Vamos precisar escrever a série, verificar que os termos são alternados e decrescentes, e aplicar o limite do resto.

Passo 2

Começamos pela expansão de Maclaurin de sin x. Sabemos que
sin x=sumk=0^infty(-1)^kx^2k+1(2k+1)!
Definimos os somatórios parciais
S1=x, S2=x-x^33!, S3=x-x^33!+x^55!
Observamos que os termos positivos ak=x^2k+1(2k+1)! são decrescentes quando x>0, pois
ak+1ak=x^2(2k+2)(2k+3)<1
Então a série é alternada com termos em módulo decrescentes e que tendem a zero. Pelo teste da série alternada, o valor de sin x fica entre dois somatórios parciais consecutivos:
S2

Passo 3

Substituindo S2 e S3 obtemos exatamente
x-x^33!

Resposta

x-\frac{x^3}{3!}<\sin x< x-\frac{x3}{3!}+\frac{x5}{5!

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