Prove as seguintes desigualdades:
, para
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
, vale
. O conteúdo principal aqui é a expansão em série de Taylor (Maclaurin) de
e o teorema da série alternada (erro alternado). Vamos precisar escrever a série, verificar que os termos são alternados e decrescentes, e aplicar o limite do resto.
Passo 2
Começamos pela expansão de Maclaurin de
. Sabemos que
Definimos os somatórios parciais
Observamos que os termos positivos
são decrescentes quando
, pois
Então a série é alternada com termos em módulo decrescentes e que tendem a zero. Pelo teste da série alternada, o valor de
Passo 3
Substituindo
e
obtemos exatamente
Resposta
x-\frac{x^3}{3!}<\sin x< x-\frac{x3}{3!}+\frac{x5}{5!