(Valor até 4 pts.) Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial F(x, y)=\left(x^{2}-y^{2} .2 x y\right) para deslocar uma partícula, no sentido antihorário, ao longo da fronteira do triângulo de lados dados pelos seguimentos de reta x=0, y=0 e x+y=a.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pelo campo vetorial \displaystyle F(x,y) = \bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr) = \bigl(x^2 - y^2,\;2xy\bigr)
ao longo da fronteira do triângulo determinado por x=0, y=0 e x+y=a, no sentido antihorário.
Conteúdo: cálculo de integral de linha fechada usando o Teorema de Green.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, o trabalho
\oint_{C}F\cdot d\mathbf{r}
sobre a curva orientada positivamente é
\iint_{R}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde R é o interior do triângulo.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(x^2 - y^2)=-2y.
Logo
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =2y-(-2y)=4y.

Passo 4

O domínio R é o triângulo com vértices (0,0), (a,0) e (0,a). Podemos descrevê-lo por
0\le y\le a, \quad 0\le x\le a-y.
Assim a integral fica
\iint_{R}4y\,dA =\int_{y=0}^{a}\!\int_{x=0}^{\,a-y}4y\,dx\,dy.

Passo 5

Execute a integral iterada:
\int_{x=0}^{\,a-y}4y\,dx =4y\,(a-y).
Então
\int_{y=0}^{a}4y\,(a-y)\,dy =4\int_{0}^{a}(a\,y-y^2)\,dy =4\Bigl[a\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}\Bigr]_{0}^{a} =4\Bigl(\frac{a^3}{2}-\frac{a^3}{3}\Bigr) =4\cdot\frac{a^3}{6} =\frac{2}{3}a^3.

Resposta

O trabalho realizado é \displaystyle \frac{2}{3}a^3.

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