Dadas as funções f(t)=(t, 1, t^2), g(t)=(t-1, t^2, t^2-1) e h(t)=(e^t, t^2+2,0), calcule:
f(t) cdot g(t)

Passo 1

Vamos resolver o problema que nos foi dado! Temos três funções vetoriais:
f(t) = (t, , 1, , t^2), g(t) = (t-1, , t^2, , t^2-1), h(t) = (e^t, , t^2+2, , 0)
E o que precisamos calcular é o produto escalar entre f(t) e g(t), ou seja, f(t) cdot g(t). Para resolver isso, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores é a soma dos produtos das suas componentes correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as componentes de cada vetor:
f(t) = (f1(t), , f2(t), , f3(t)) = (t, , 1, , t^2)
g(t) = (g1(t), , g2(t), , g3(t)) = (t-1, , t^2, , t^2-1)

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula do produto escalar:
f(t) cdot g(t) = f1(t) cdot g1(t) + f2(t) cdot g2(t) + f3(t) cdot g3(t)
Substituindo as componentes:
f(t) cdot g(t) = t cdot (t - 1) + 1 cdot t^2 + t^2 cdot (t^2 - 1)

Passo 4

Vamos simplificar cada termo:
  1. t cdot (t - 1) = t^2 - t
  2. 1 cdot t^2 = t^2
  3. t^2 cdot (t^2 - 1) = t^4 - t^2
Então, somando tudo:
f(t) cdot g(t) = (t^2 - t) + t^2 + (t^4 - t^2)

Passo 5

Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
f(t) cdot g(t) = t^4 + (t^2 - t + t^2 - t^2) = t^4 + t^2 - t

Resposta

Portanto, o produto escalar entre f(t) e g(t) é:
f(t) cdot g(t) = t^4 + t^2 - t

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