Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral
é convergente ou divergente e, em caso afirmativo, calculá-la. O ponto de atenção é
, onde
diverge, então trata-se de uma integral imprópria. Vamos primeiro verificar a convergência e depois, se for o caso, encontrar seu valor exato.
Passo 2
Verificação de convergência em
. Para
pequeno,
, mas o produto
tende a zero, pois
Além disso, podemos comparar
com
para algum
e concluir que
converge absolutamente, logo converge.
Passo 3
Cálculo da primitiva por integração por partes. Tomamos
Então
Passo 4
Aplicando os limites impróprios:
Em
obtém-se
Em
, temos
e
, de modo que o termo inferior é zero. Logo
Resposta
A integral é convergente e vale
.