Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral0^1 x ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral
integral0^1 xln x,dx
é convergente ou divergente e, em caso afirmativo, calculá-la. O ponto de atenção é x=0, onde ln x diverge, então trata-se de uma integral imprópria. Vamos primeiro verificar a convergência e depois, se for o caso, encontrar seu valor exato.

Passo 2

Verificação de convergência em x=0. Para x pequeno, ln xto -infty, mas o produto xln x tende a zero, pois
limxto0^+ xln x =limxto0^+ln x1/x stackrelL'Hôpital= limxto0^+1/x-1/x^2 =limxto0^+(-x)=0 ô
Além disso, podemos comparar lvert xln xrvert com x^p para algum p<1 e concluir que
integral0^1xln x,dx
converge absolutamente, logo converge.

Passo 3

Cálculo da primitiva por integração por partes. Tomamos
u=ln x, dv=x,dx Longrightarrow du=dxx,;v=x^22
Então
integral xln x,dx = x^22ln x - integral x^22cdot1x,dx = x^22ln x - integral x2,dx = x^22ln x - x^24 + C

Passo 4

Aplicando os limites impróprios:
integral0^1xln x,dx =[x^22ln x - x^24]0^1
Em x=1 obtém-se
1^22ln1 - 1^24 =0 - 14 =-14
Em xto0^+, temos x^22ln xto0 e x^24to0, de modo que o termo inferior é zero. Logo
integral0^1xln x,dx =-14

Resposta

A integral é convergente e vale -tfrac14.

Exercícios relacionados